將一組數字強制為高斯鐘形曲線

（這與我在 Stack Overflow 上的編程問題有關：貝爾曲線高斯算法（Python 和/或 C#）。）

在 Answers.com 上，我發現了這個簡單的例子：

1. 求算術平均值（平均值）=> 集合中所有值的總和，除以集合中元素的數量
2. 求集合中所有值的平方和
3. 將 (2) 的輸出除以集合中的元素數
4. 從 (3) 的輸出中減去均值 (1) 的平方
5. 取 (4) 的結果的平方根

示例：設置 A={1,3,4,5,7}

1. (1+3+4+5+7)/5 = 4
2. (11+33+44+55+7*7)=1+9+16+25+49=100
3. 100 / 5 = 20
4. 20 - 4*4=20-16 = 4
5. SQRT(4) = 2

（這來自wiki.answers.com上的帖子。）

現在考慮到所有這些，我怎樣才能將上述數據擬合到從 200 到 800 的鐘形曲線（例如信用評分）。顯然，上述集合中的數字 5 將是 500。但是確定什麼的公式是什麼？ 3 應該在同一尺度上。儘管原始集合 Set A={1,3,4,5,7} 不是鍾形曲線，但我想將其強制為鍾形曲線。

想像一下，這些是 5 個人的分數。下個月的分數可能會發生如下變化： 設置A2={1,2,4,5,9}（一個人失去一分，排名靠前的人再獲得兩分——富人更富，窮人更窮）。然後也許會有一個新人進入集合： Set A3={1,2,4,5,8,9}。

縮放範圍，如 200 到 800（例如SAT ），只是測量單位的變化。（它的工作原理就像將華氏溫度更改為攝氏溫度一樣。）

中間值 500 旨在對應於數據的平均值。當數據確實遵循正態分佈（“鐘形曲線”）時，該範圍旨在對應於大約 99.7% 的數據。保證包含 8/9 的數據（切比雪夫不等式）。

在這種情況下，公式 1-5 計算數據的標準差。這只是原始數據的新計量單位。需要對應新尺度中的100個單位。因此，要將原始值轉換為縮放值，

• 減去平均值。
• 除以標準差。
• 乘以 100。
• 加500。

如果結果超出範圍您可以按原樣使用它，也可以通過四捨五入到 200 到 800 來將其“箝制”到範圍內。

在示例中，使用數據，平均值為SD是. 因此，在重新縮放時，變成. 類似地計算的整個重新縮放的數據集是.

當原始數據以明顯不正常的方式分佈時，您需要另一種方法。您不再計算平均值或 SD。相反，將所有分數按順序排列，從第 1（最小）到th（最大）。這些是他們的隊伍。轉換任何等級成它的百分比 . （在示例中，並且數據已經按順序排列. 因此他們的百分比是，通常等價地寫為等）對應於任何百分比（之間和, 必然) 是一個正常的分位數。它是用與誤差函數密切相關的正態分位數函數計算的。（簡單的數值近似值很容易編碼。）它的值通常在 -3 到 3 之間，必須重新調整（就像以前一樣）到範圍. 首先將正常分位數乘以 100，然後再加上 500。

正常的分位數函數可用於許多計算平台，包括電子表格（例如 Excel 的normsinv）。 **例如，**數據的正態分位數（或“正態分數”）是.

當您有 370 或更少的值時，這種“正常評分”方法將始終給出 200 到 800 之間的分數。當您有 1111 個或更少的值時，除了最高和最低值之外，所有值的分數都在 200 到 800 之間。

引用自：https://stats.stackexchange.com/questions/5853