為什麼重複測量方差分析假設球形？
為什麼重複測量方差分析假設球形？
我所說的球形度是指假設組之間所有成對差異的方差應該相同。
特別是，我不明白為什麼這應該是假設，而不是觀察到的組分數的方差本身是相同的。
球形假設背後的直覺
常見的、非重複測量的假設之一，ANOVA 是所有組的方差相等。
（我們可以理解它，因為等方差，也稱為同方差，需要線性回歸中的 OLS 估計量為藍色，並且相應的 t 檢驗有效，參見高斯-馬爾可夫定理。方差分析可以實現為線性回歸。）
因此，讓我們嘗試將 RM-ANOVA 案例簡化為非 RM 案例。為簡單起見，我將處理具有 $ n $ 記錄的科目 $ k $ RM 條件。
每個主題都可以有自己的特定主題偏移量或截距。如果我們從所有其他組中的值中減去一組中的值，我們將取消這些截距並達到我們可以使用非 RM-ANOVA 來測試這些截距的情況 $ k-1 $ 群體差異都為零。為了使該測試有效，我們需要假設這些變量的方差相等 $ k-1 $ 差異。
現在我們可以從所有其他組中減去組#2，再次到達 $ k-1 $ 差異也應該具有相等的方差。對於每組 $ k $ , 對應的方差 $ k-1 $ 差異應該相等。很快，所有 $ k(k-1)/2 $ 可能的差異應該相等。
這正是球形假設。
為什麼組方差本身不應該相等？
當我們想到 RM-ANOVA 時，我們通常會想到一個簡單的加法混合模型樣式的模型$$ y_{ij}=\mu+\alpha_i + \beta_j + \epsilon_{ij}, $$在哪裡 $ \alpha_i $ 是主體效果， $ \beta_j $ 是條件效應，並且 $ \epsilon\sim\mathcal N(0,\sigma^2) $ .
對於此模型，組差異將隨之而來 $ \mathcal N(\beta_{j_1} - \beta_{j_2}, 2\sigma^2) $ ，即都有相同的方差 $ 2\sigma^2 $ ，所以球形成立。但每組將遵循混合 $ n $ 均值在的高斯 $ \alpha_i $ 和差異 $ \sigma^2 $ ，這是一些具有方差的複雜分佈 $ V(\vec \alpha, \sigma^2) $ 這在各組之間是恆定的。
所以在這個模型中，確實，組方差也是相同的。組協方差也是相同的，這意味著該模型意味著複合對稱。與球形度相比，這是一個更嚴格的條件。正如我上面的直觀論點所示，當上面編寫的加法模型不成立時，RM-ANOVA 在更一般的情況下可以正常工作。
精確的數學陳述
我將在這裡添加一些來自Huynh & Feldt，1970，重複測量設計中的均方比具有精確的條件 $ F $ -分佈。
當球形度破裂時會發生什麼？
當球形度不成立時，我們可以預期 RM-ANOVA 會 (i) 具有膨脹的大小（更多的 I 類錯誤），(ii) 具有降低的功效（更多的 II 類錯誤）。人們可以通過模擬來探索這一點，但我不打算在這裡做。