估計均勻分佈的參數：不正確的先驗？
我們有 N 個樣本，, 從均勻分佈在哪裡是未知的。估計從數據中。
所以，貝葉斯法則…
可能性是：
（編輯：當對所有人, 否則為 0 – 謝謝 whuber)
但沒有其他信息，似乎先驗應該與（即統一）或（杰弗里斯之前？）關於但後來我的積分不收斂，我不知道如何進行。有任何想法嗎？
這引發了一些有趣的辯論，但請注意，這對感興趣的問題並沒有太大的影響。個人認為是因為 $ \theta $ 是比例參數，變換組參數是合適的，導致先驗
$$ \begin{array}& p(\theta|I)=\frac{\theta^{-1}}{\log\left(\frac{U}{L}\right)}\propto\theta^{-1} & L<\theta<U\end{array} $$
該分佈在問題的重新縮放下具有相同的形式（在重新縮放下可能性也保持“不變”）。這個先驗的內核， $ f(y)=y^{-1} $ 可以通過求解函數方程得到 $ af(ay)=f(y) $ . 價值 $ L,U $ 取決於問題，並且僅在樣本量非常小時（如 1 或 2）時才重要。後驗是截斷的帕累托，由下式給出：
$$ \begin{array}\ p(\theta|DI)=\frac{N\theta^{-N-1}}{ (L^{})^{-N}-U^{-N}} & L^{}<\theta<U & \text{where} & L^{}=max(L,X_{(N)}) \end{array} $$ 在哪裡 $ X_{(N)} $ 是 N 階統計量，或樣本的最大值。我們得到後驗均值 $$ E(\theta|DI)= \frac{ N((L^{})^{1-N}-U^{1-N}) }{ (N-1)((L^{})^{-N}-U^{-N}) }=\frac{N}{N-1}L^{}\left(\frac{ 1-\left[\frac{L^{}}{U}\right]^{N-1} }{ 1-\left[\frac{L^{}}{U}\right]^{N} }\right) $$ 如果我們設置 $ U\to\infty $ 和 $ L\to 0 $ 我們得到更簡單的表達 $ E(\theta|DI)=\frac{N}{N-1}X_{(N)} $ .
但是現在假設我們使用更一般的先驗，由下式給出 $ p(\theta|cI)\propto\theta^{-c-1} $ （請注意，我們保持限制 $ L,U $ 以確保一切都是正確的——然後沒有單一的數學）。後驗則與上面相同，但具有 $ N $ 取而代之 $ c+N $ - 前提是 $ c+N\geq 0 $ . 重複上述計算，我們簡化後驗均值
$$ E(\theta|DI)=\frac{N+c}{N+c-1}X_{(N)} $$
所以統一先驗（ $ c=-1 $ ) 將給出一個估計 $ \frac{N-1}{N-2}X_{(N)} $ 前提是 $ N\geq 2 $ （平均值是無限的 $ N=2 $ ）。這說明這裡的爭論有點像要不要用 $ N $ 或者 $ N-1 $ 作為方差估計中的除數。
在這種情況下，反對使用不正確的統一先驗的一個論據是，當 $ N=1 $ ，因為它與 $ \theta^{-1} $ . 但這只有在 $ N=1 $ 或者很小。