是平均（貝葉斯）後驗估計𝜃θtheta一個（Frequentist）無偏估計量𝜃θtheta?
我想知道貝葉斯和頻率統計相互聯繫的不同方式。
我記得參數的最大似然估計 $ \theta $ 不一定是該參數的無偏估計量。
這讓我想知道：平均後驗估計是 $ \theta $ 無偏估計？
那是，
做 $ \phi(x)=E(\theta\mid x) $ , 暗示 $ E(\phi(x)\mid\theta)=\theta $ ?
請注意，這確實是一個有意義的問題，因為 $ \phi(x) $ ，雖然它是貝葉斯估計量，但只是從數據到實線的函數，因此也可以看作是經典的頻率估計量。
如果這個問題不能籠統地回答，請假設先驗是統一的。
如果沒有，是否有其他貝葉斯估計量（即從後驗到 $ \mathbb R $ ) 這始終是常客意義上的無偏估計量？
這是一個有意義的問題，答案是眾所周知的：當使用適當的先驗時 $ \pi $ 在 $ \theta $ , 後驗均值 $ \delta^\pi(x) = \mathbb{E}^\pi[\theta|x] $ 不能不偏不倚。否則綜合貝葉斯風險為零： $$ \begin{align*} r(\pi; \delta^\pi) &= \overbrace{\mathbb{E}^\pi{\underbrace{\mathbb{E}^X[(\delta^\pi(X)-\theta)^2|\theta]}{\text{exp. under likelihood}}}}^{\text{expectation under prior}}\ &= \mathbb{E}^\pi{\mathbb{E}^X[\delta^\pi(X)^2+\theta^2-2\delta^\pi(X)\theta|\theta]}\ &= \mathbb{E}^\pi{\mathbb{E}^X[\delta^\pi(X)^2+\theta^2]|\theta}- \mathbb{E}^\pi{\theta \mathbb{E}^X[\delta^\pi(X)|\theta]}-\overbrace{\mathbb{E}^X{\mathbb{E}^\pi[\theta|X]\delta^\pi(X)}}^{\text{exp. under marginal}}\ &= \mathbb{E}^\pi[\theta^2]+\underbrace{\mathbb{E}^X[\delta^\pi(X)^2]}{\text{exp. under marginal}} -\mathbb{E}^\pi[\theta^2]-\mathbb{E}^X[\delta^\pi(X)^2]\ & = 0 \end{align*} $$ [符號： $ \mathbb{E}^X $ 意思是 $ X $ 是要被整合到這個期望中的隨機變量，或者在可能性下（條件 $ \theta $ ）或邊緣（整合出 $ \theta $ ） 儘管 $ 𝔼^π $ 認為 $ θ $ 為待積分的隨機變量。注意 $ \mathbb{E}^X[\delta^\pi(X)] $ 是邊緣的一個整體，而 $ \mathbb{E}^X[\delta^\pi(X)|\theta] $ 是抽樣分佈的一個組成部分。]
由於綜合貝葉斯風險是無限的，因此該論點不會擴展到像平面先驗（不統一！）這樣的不當先驗。因此，一些廣義貝葉斯估計量可能證明是無偏的，例如正態均值問題中的 MLE，它也是平坦先驗下的貝葉斯後驗期望。（但是對於不恰當的先驗，不存在無偏性的一般性質！）
一個有趣的附帶屬性是 $ \delta^\pi(x) = \mathbb{E}^\pi[\theta|x] $ 在貝葉斯意義上是足夠的，因為 $$ \mathbb{E}^\pi{\theta|\mathbb{E}^\pi[\theta|x]}=\mathbb{E}^\pi[\theta|x] $$以 $ \mathbb{E}^\pi[\theta|x] $ 與調節相同 $ x $ 用於估計 $ \theta $ .