修正的睡美人悖論
考慮以下經典問題：
一些研究人員想讓睡美人在星期天睡覺。根據公平硬幣的秘密拋擲，他們將在周一（正面）或兩次（第一次在周一，然後在周二再次）（反面）短暫喚醒她。每次醒來後，他們都會用一種讓她忘記醒來的藥物讓她重新入睡，最後她將在周三被喚醒，沒有任何問題被問到，實驗將結束。當她醒來時（週三之前——她會被告知是周三之前，但不是周一還是周二），睡美人應該在多大程度上相信拋硬幣的結果是正面？
在之前的帖子中（我借用並稍微修改了引文），whuber 令人信服地辯稱，上述問題是模棱兩可的，並給出了答案： $ \frac{1}{3} $ 要么 $ \frac{1}{2} $ ， 和 $ \frac{1}{3} $ 成為更有趣的答案。我建議在嘗試回复這篇文章之前閱讀 whuber 的回复。
現在考慮以下修改，從2015 年的博客文章中藉用：
週日睡覺前，睡美人以 3:2 的賠率打賭，硬幣會正面朝上。（這在正面概率為 1/2 時對她有利，而在正面概率為 1/3 時對她不利）。她被告知，只要她醒來，她就有機會取消任何未完成的投注。後來她發現自己醒了，問她是否想取消任何未完成的賭注。她應該說是還是不是？（假設她無法獲得任何外部隨機性來幫助她選擇）。她的最佳答案是否與“1/3 的硬幣正面朝上的信念”相符？
修改版的問題是因為硬幣是公平的，所以下注的期望值應該是 $ 3 \cdot \frac{1}{2} - 2 \cdot \frac{1}{2} > 0 $ . 但是當睡美人被喚醒時，根據 whbuer 的推理，她分配了一個概率 $ \frac{1}{3} $ 考慮到她是那個被喚醒的人，硬幣即將出現正面。在這種情況下，期望值為 $ 3 \cdot \frac{1}{3} - 2 \cdot \frac{2}{3} < 0 $ ，所以她應該取消賭注。然而，從直覺上看，賭注似乎沒有任何改變。
在上面鏈接的博客文章中，睡美人的理由是，雖然她根據在星期三之前被喚醒而分配給硬幣正面朝上的概率是 $ \frac{1}{3} $ , 在星期三她將經歷在星期三醒來的事件, 在這一點上, 在星期三醒來的正面朝上的概率將為 $ \frac{1}{2} $ ，所以她將賭注推遲到以後。
然而，既然睡美人早已經知道她最終會在周三醒來，那麼這個論點是不是意味著最初的睡美人悖論的答案應該“道德上”是 $ \frac{1}{2} $ 而不是 $ \frac{1}{3} $ ? 你如何解決睡美人不應該取消賭注的直覺感覺和 whuber 對正面概率的推理之間的衝突，因為她是那個被喚醒的人 $ \frac{1}{3} $ ? 睡美人應該取消她的賭注嗎？
這種思路沒有考慮到這樣一個事實，即如果是反面並且她在周一取消了賭注，那麼在周二再次取消賭注將無濟於事。週二取消投注的好處取決於她週一做了什麼。從睡美人的角度來看，當她醒來時，她應該在想“如果我取消賭注，從賭注的基線情景來看，我的預期收益是多少？” 換句話說，取消賭注和不取消賭注之間的預期差異是什麼？（當然，這只是下注 EV 的負數，因為不下注的價值只是零。）
那麼讓我們來看看這三種情況：
*案例 1 - 星期一正面：*如果她取消賭注，她會輸 3
*案例 2 - 星期一尾巴：*如果她取消賭注，她將獲得 2
*案例 3 - 星期二的尾巴：*如果她取消了賭注，並且她沒有在星期一取消賭注，她將獲得 2。如果她取消了賭注，但她已經在星期一取消了賭注，那麼什麼都不會改變。
為了確定取消投注行動的預期收益，我們必須知道她在周二取消投注的情況下週一取消投注的概率，因為她從周二“取消投注”行動中獲得的收益取決於此。然而，這個問題並沒有足夠具體地告訴我們。
我們可以做一個簡化的假設。讓我們假設她每次都做同樣的事情，也就是說，她選擇了一個策略“如果我醒來就這樣做”。因此，如果她在星期二取消了賭注，那麼她必然在星期一取消了賭注。因此，她在周二取消賭注的基線收益為零。那麼她取消賭注的預期收益是 $ -3 \cdot \frac{1}{3} + 2 \cdot \frac{1}{3} + 0 \cdot \frac{1}{3} = -\frac{1}{3}. $
這與天真的方法形成對比，在這種方法中，週二取消賭注的預期收益等於週一在反面擲骰時的收益，在這種情況下，計算是（錯誤地） $ -3 \cdot \frac{1}{3} + 2 \cdot \frac{1}{3} + 2 \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{3}. $ 請注意，這只是您所寫的從第三者的角度來看下注的 EV 的否定。取消賭注的預期收益是賭注預期值的負數。但是，這種預期收益天真地忽略了這樣一個事實，即如果您在周一取消，週二取消將無濟於事。當你不忽略這一點時，正如我上面所展示的，取消賭注的預期收益是負的。
因此，即使從第三者的角度來看，她也不應該取消賭注。