Bimodal
為什麼兩個正態分佈變量的混合只有雙峰，如果它們的平均值相差至少兩倍共同標準偏差？
在兩個正態分佈的混合下：
https://en.wikipedia.org/wiki/Multimodal_distribution#Mixture_of_two_normal_distributions
“兩個正態分佈的混合有五個要估計的參數：兩個均值、兩個方差和混合參數。具有相等標準差的兩個正態分佈的混合只有當它們的均值相差至少兩倍於常見標準差時才是雙峰的。”
我正在尋找關於為什麼這是真的推導或直觀的解釋。我相信或許可以用兩樣本t檢驗的形式來解釋：
$$ \frac{\mu_1-\mu_2}{\sigma_p} $$
在哪裡 $ \sigma_p $ 是合併的標準差。
該維基文章中鏈接的論文中的這張圖提供了一個很好的說明：
他們提供的證明是基於正態分佈在其平均值的一個 SD 內是凹的（SD 是正態 pdf 的拐點，它從凹到凸）。因此，如果將兩個普通 pdf 相加（以相等的比例），那麼只要它們的均值相差小於兩個 SD，sum-pdf（即混合）將在兩個均值之間的區域中是凹的，因此全局最大值必須正好在兩個平均值之間。
參考：Schilling, MF, Watkins, AE 和 Watkins, W. (2002)。人的身高是雙峰的嗎？美國統計學家， 56（3），223–229。doi:10.1198/00031300265
