Cauchy-Distribution
柯西分佈的樣本均值分佈是什麼？
通常，當人們對分佈（樣本大小大於 30）進行隨機樣本平均時，會獲得以平均值為中心的正態分佈。但是，我聽說柯西分佈沒有平均值。那麼在獲得柯西分佈的樣本均值時會得到什麼分佈呢？
基本上適用於柯西分佈是未定義的所以是什麼什麼是分佈?
如果 $ X_1, \ldots, X_n $ 是 iid 柯西嗎 $ (0, 1) $ 那麼我們可以證明 $ \bar{X} $ 也是柯西 $ (0, 1) $ 使用特徵函數參數：
$$ \begin{align} \varphi_{\bar{X}}(t) &= \text{E} \left (e^{it \bar{X}} \right ) \ &= \text{E} \left ( \prod_{j=1}^{n} e^{it X_j / n} \right ) \ &= \prod_{j=1}^{n} \text{E} \left ( e^{it X_j / n} \right ) \ &= \text{E} \left (e^{it X_1 / n} \right )^n \ &= e^{- |t|} \end{align} $$
是標準柯西分佈的特徵函數。更一般的柯西的證明 $ (\mu, \sigma) $ 情況基本相同。