為什麼在為方差創建置信區間時使用卡方？
這是一個非常基本的問題。為什麼我們使用卡方分佈？這種分佈的意義是什麼？為什麼這是用於為方差創建置信區間的分佈？
我在谷歌上搜索的每個地方都只是提供了一個事實，解釋了何時使用 chi，但沒有解釋為什麼使用 chi，以及為什麼它看起來像這樣。
非常感謝任何可以為我指明正確方向的人，那就是——真正理解為什麼我在為方差創建置信區間時使用 chi。
快速回答
原因是因為，假設數據是 iid 並且, 並定義
在形成置信區間時，與樣本方差相關的抽樣分佈 (，記住，一個隨機變量！）是一個卡方分佈（)，正如與樣本均值相關的抽樣分佈是標準正態分佈 () 當你知道方差時，和一個 t-student 當你不知道時 (）。 長答案
首先，我們要證明遵循卡方分佈自由程度。之後，我們將看到這個證明在推導方差的置信區間時如何有用，以及卡方分佈如何出現（以及為什麼它如此有用！）。讓我們開始。
證據
為此，也許您必須習慣這篇Wikipedia 文章中的卡方分佈。這個分佈只有一個參數：自由度，，並且恰好有一個矩生成函數（MGF），由下式給出：
如果我們能證明分佈有一個像這樣的矩生成函數，但是有, 那麼我們已經證明了遵循卡方分佈自由程度。為了證明這一點，請注意兩個事實：
- 如果我們定義，
在哪裡，即標準正態隨機變量，矩生成函數為是（誰）給的
MGF是（誰）給的
我使用了標準法線的PDF，因此，
這意味著遵循卡方分佈自由度。 2. 如果和是獨立的，並且每個都分佈為卡方分佈，但具有和自由度，那麼以卡方分佈分佈自由度（這是從採用 MGF 得出的; 做這個！）。
有了上述事實，請注意，如果將樣本方差乘以，你得到（經過一些代數），
因此，除以,
請注意，該和左側的第二項分佈為自由度為 1 的卡方分佈，而右側的和分佈為自由度為 1 的卡方分佈自由程度。所以，分佈為卡方自由度。 計算方差的置信區間。
在尋找方差的置信區間時，您想知道限制和在
讓我們玩一下括號內的不等式。首先，除以,
然後記住兩件事：（1）統計有一個卡方分佈自由度和 (2) 方差始終大於零，這意味著您可以反轉不等式，因為 因此，我們正在尋找的概率是：
注意. 那麼我們想要，
（我們整合到因為卡方隨機變量的期望值自由度是) 或等價地，
打電話和, 其中值和可以在卡方表中找到（主要在計算機中！）並求解和,
因此，您的方差置信區間為