總和不正常的兩個 correlated 正態變量的示例

October 21, 2014

我知道一些很好的相關隨機變量對的例子，它們是邊緣正常但不是共同正常的。請參閱Dilip Sarwate的這個答案，以及Cardinal的這個答案。

我也知道兩個正常隨機變量的總和不正常的例子。請參閱Macro的這個答案。但是在這個例子中，兩個隨機變量是不相關的。

是否有兩個具有非零協方差且總和不正常的正態隨機變量的示例？或者是否有可能證明任何兩個相關正態隨機變量的總和，即使它們不是二元正態，也一定是正態的？

[背景：我有一個作業問題，要求分配在哪裡和是具有相關性的標準法線. 我認為這個問題旨在說明它們是二元正態的。但我想知道如果沒有這個額外的假設，是否可以說什麼非零。]

謝謝！

幾乎任何雙變量 copula 都會產生一對具有一些非零相關性的正態隨機變量（有些會給出零，但它們是特殊情況）。他們中的大多數（幾乎所有）都會產生非正常的總和。

在某些 copula 族中，可以產生任何所需的（總體） *Spearman相關；*困難僅在於找到正常邊距的 Pearson 相關性；原則上是可行的，但一般來說代數可能相當複雜。[但是，如果您有總體 Spearman 相關性，則 Pearson 相關性 - 至少對於像高斯這樣的輕尾邊距 - 在許多情況下可能不會太遠。]

除了紅衣主教情節中的前兩個例子外，所有例子都應該給出非正態總和。

一些例子——前兩個與紅衣主教的例子二元分佈的第五個來自同一個係詞家族，第三個是退化的。

示例 1：

克萊頓係詞 ()

在這裡，總和非常明顯地達到峰值並且相當強烈的右偏

示例 2：

克萊頓係詞 ()

這裡的總和有輕微的左偏。以防萬一這對每個人來說都不是很明顯，在這裡我翻轉了分佈（即我們有一個直方圖淡紫色）並將其疊加，以便我們可以更清楚地看到不對稱性：

我們可以很容易地互換總和的偏度方向，使得負相關與左偏相關，而與右偏正相關（例如，通過取和在上述每種情況下 - 新變量的相關性將與以前相同，但總和的分佈將翻轉為 0 左右，扭轉偏度）。

另一方面，如果我們只是否定其中一個，我們將改變偏度強度與相關符號之間的關聯（但不是它的方向）。

還值得嘗試一些不同的 copula，以了解二元分佈和正態邊距會發生什麼。

可以對帶有 t-copula 的高斯邊距進行實驗，而不必過多擔心 copula 的細節（從相關二元 t 生成，這很容易，然後通過概率積分變換轉換為均勻邊距，然後通過逆正常 cdf）。它將有一個非正態但對稱的和。所以即使你沒有很好的 copula 包，你仍然可以相當容易地做一些事情（例如，如果我試圖在 Excel 中快速顯示一個示例，我可能會從 t-copula 開始）。

–

示例 3：（這更像是我最初應該開始的）

考慮基於標準制服的 copula, 並讓為了和為了. 結果具有統一的邊距和，但二元分佈是退化的。將兩個邊距轉換為正常, 我們得到一個分佈看起來像這樣：

在這種情況下，它們之間的相關性約為 0.66。

再說一次，和是與（在這種情況下，明顯地）非正態總和相關的正態 - 因為它們不是雙變量正態。

[人們可以通過翻轉中心來生成一系列相關性（在，為了在)，獲得. 這些將在 0 處有一個尖峰，然後在其兩側有一個間隙，帶有正常的尾巴。]

一些代碼：
library("copula")
par(mfrow=c(2,2))

# Example 1
U <- rCopula(100000, claytonCopula(-.7))
x <- qnorm(U[,1])
y <- qnorm(U[,2])
cor(x,y)
hist(x,n=100)
hist(y,n=100)
xysum <- rowSums(qnorm(U))
hist(xysum,n=100,main="Histogram of x+y")
plot(x,y,cex=.6,
      col=rgb(0,100,0,70,maxColorValue=255),
      main="Bivariate distribution")
text(-3,-1.2,"cor = -0.68")
text(-2.5,-2.8,expression(paste("Clayton: ",theta," = -0.7")))
第二個例子：
#--
# Example 2:
U <- rCopula(100000, claytonCopula(2))
x <- qnorm(U[,1])
y <- qnorm(U[,2])
cor(x,y)
hist(x,n=100)
hist(y,n=100)
xysum <- rowSums(qnorm(U))
hist(xysum,n=100,main="Histogram of x+y")
plot(x,y,cex=.6,
   col=rgb(0,100,0,70,maxColorValue=255),
   main="Bivariate distribution")
text(3,-2.5,"cor = 0.68")
text(2.5,-3.6,expression(paste("Clayton: ",theta," = 2")))
#
par(mfrow=c(1,1))
第三個例子的代碼：
#--
# Example 3:
u <- runif(10000)
v <- ifelse(u<.5,u,1.5-u)
x <- qnorm(u)
y <- qnorm(v)
hist(x+y,n=100)