每個相關矩陣都是正定的嗎？

我在這裡談論的是皮爾遜相關矩陣。

我經常聽到有人說所有相關矩陣必須是半正定的。我的理解是正定矩陣必須有特徵值, 而半正定矩陣必須有特徵值. 這讓我覺得我的問題可以改寫為“相關矩陣是否有可能具有特徵值？”

相關矩陣（從經驗數據生成，沒有缺失數據）是否有可能具有特徵值, 或特徵值? 如果它是一個人口相關矩陣呢？

我在這個問題的最佳答案中閱讀了關於協方差矩陣的內容

考慮三個變量，,和. 他們的協方差矩陣，, 不是正定的，因為有一個向量() 其中不是積極的。

但是，如果不是協方差矩陣，而是在相關矩陣上進行這些計算，那麼結果是積極的。因此，我認為相關矩陣和協方差矩陣的情況可能有所不同。

我問的原因是我在stackoverflow上被問到，關於我在那裡問的一個問題。

相關矩陣不必是正定的。

考慮一個具有非零方差的標量隨機變量 X。那麼X與自身的相關矩陣就是全1的矩陣，是半正定的，但不是正定的。

至於樣本相關性，請考慮上述樣本數據，具有第一個觀測值 1 和 1，以及第二個觀測值 2 和 2。這導致樣本相關性是所有 1 的矩陣，因此不是正定的。

如果以精確算術計算（即沒有捨入誤差），樣本相關矩陣不能具有負特徵值。

引用自：https://stats.stackexchange.com/questions/182875