轉換比例數據：當 arcsin 平方根不夠時
百分比/比例數據的反正弦平方根轉換是否有（更強？）替代方法？在我目前正在處理的數據集中，在我應用此轉換後仍然存在明顯的異方差性，即殘差與擬合值的圖仍然非常菱形。
編輯回應評論：數據是實驗參與者的投資決策，他們可能以 10% 的倍數投資 0-100% 的捐贈基金。我還使用序數邏輯回歸查看了這些數據，但想看看有效的 glm 會產生什麼。另外，我可以看到答案對未來的工作很有用，因為反正弦平方根似乎被用作我所在領域的萬能解決方案，而且我沒有遇到任何替代方案。
當然。*John Tukey 描述了EDA*中的一系列（遞增的、一對一的）轉換。它基於以下想法：
- 能夠通過參數控制擴展尾部（朝向 0 和 1）。
- 儘管如此，要匹配中間附近的原始（未轉換）值（ $ 1/2 $ )，這使得轉換更容易解釋。
- 使重新表達關於 $ 1/2. $ 也就是說，如果 $ p $ 被重新表示為 $ f(p) $ ， 然後 $ 1-p $ 將重新表示為 $ -f(p) $ .
如果你從任何遞增的單調函數開始 $ g: (0,1) \to \mathbb{R} $ 可微分於 $ 1/2 $ 您可以對其進行調整以滿足第二個和第三個標準：只需定義
$$ f(p) = \frac{g(p) - g(1-p)}{2g'(1/2)}. $$
分子是顯式對稱的（標準 $ (3) $ )，因為交換 $ p $ 和 $ 1-p $ 反轉減法，從而否定它。看到那個 $ (2) $ 滿足，注意分母正是需要使 $ f^\prime(1/2)=1. $ 回想一下，導數用線性函數逼近函數的局部行為；一個斜率 $ 1=1:1 $ 從而意味著 $ f(p)\approx p $ （加上一個常數 $ -1/2 $ ） 什麼時候 $ p $ 足夠接近 $ 1/2. $ 這就是原始值“在中間附近匹配”的意義。
Tukey 稱之為“折疊”版本 $ g $ . 他的家庭由冪和對數變換組成 $ g(p) = p^\lambda $ 何時何地 $ \lambda=0 $ ， 我們認為 $ g(p) = \log(p) $ .
讓我們看一些例子。什麼時候 $ \lambda = 1/2 $ 我們得到折疊的根，或“froot” $ f(p) = \sqrt{1/2}\left(\sqrt{p} - \sqrt{1-p}\right) $ . 什麼時候 $ \lambda = 0 $ 我們有折疊對數或“flog” $ f(p) = (\log(p) - \log(1-p))/4. $ 顯然這只是logit變換的常數倍數， $ \log(\frac{p}{1-p}) $ .
在此圖中，藍線對應於 $ \lambda=1 $ ，中間的紅線到 $ \lambda=1/2 $ , 和極端的綠線 $ \lambda=0 $ . 金虛線是反正弦變換， $ \arcsin(2p-1)/2 = \arcsin(\sqrt{p}) - \arcsin(\sqrt{1/2}) $ . 斜率的“匹配”（標準 $ (2) $ ) 使所有圖形在附近重合 $ p=1/2. $
最有用的參數值 $ \lambda $ 介於 $ 1 $ 和 $ 0 $ . （您可以使用負值使尾部更重 $ \lambda $ ，但這種用法很少見。） $ \lambda=1 $ 除了重新設置值（ $ f(p) = p-1/2 $ ）。作為 $ \lambda $ 向零收縮，尾巴被拉得更遠 $ \pm \infty $ . 這滿足標準#1。因此，通過選擇適當的值 $ \lambda $ ，你可以在尾巴中控制這種重新表達的“強度”。
