加權平均的自由度
還有一長串自由度問題！
給定一個獨立同分佈樣本從具有期望的任意實值分佈, 樣本均值可以寫為
可以說自由度為是，因為有數據點和一個正在估計的參數。 現在假設某個扭曲的統計學家決定權重不夠好，替換和
在哪裡是一個預先確定的（即與數據無關的）非負權重向量. 自由度是多少? 在同行評審的工作中對這個問題的版本的引用將是特別有趣的。
這是錯誤的：（ 正如@zkurtz 正確指出的那樣）
我認為@zbicyclist 作為上述評論給出的答案是非常明智的。使其合理化的一種方法如下。如果您安排樣品然後你在一個向量上“回歸”-th 元素是（沒有截距），你得到的估計.
這種回歸的自由度將是矩陣的跡; 更換由其列向量元素如上所述，這些自由度結果是. 當然如果被限制為加起來為 1，這與您的猜測一致.
作為支持這種“自由度”的參考資料，我認為 Hastie-Tibshirani(1990) Generalized Additive Models，Chapman & Hall，第 3.5 節很有趣。（他們為“帽子”矩陣的軌跡提供了替代方案。）
這可能是對的：
上面引用的 Hastie-Tibshirani (1990) 提出了一般非參數平滑器中“使用的自由度”的替代定義如下： i) 跟踪, ii) 跟踪iii) 追踪. 他們利用線性模型進行類比，其中，其跡為，參數的數量（在整個我考慮滿秩的情況下）。自從是對稱冪等的，和等於，所以這三個定義在線性回歸的情況下給出了相同的答案。
在所問問題的情況下，我們可以考慮在哪裡是加權平均值乘以列向量和是權重的對稱矩陣，其每一行等於所使用的權重集。
如果我們採用上面的定義 i)，則使用的自由度數將為 1（假設, 如果我們採用 ii) 它將是. （在這種情況下對所有人（普通平均值），這會產生應有的 1。）
我發現這樣的定義有一些直觀的吸引力，但完全同意@whuber 的說法，即“自由度”這個名稱（用於平滑或適合）是對語言的濫用。我不相信有一個沒有爭議的定義。
關於這個主題，我還發現了有趣的 Hodges, JS 和 Sargent, DJ (2001) Counting Degrees of Freedom in Hierarchical and Other Richly-Parameterized Models, Biometrika , vol. 88，第 367-379 頁。還有許多其他論文涉及在不同情況下計算“等效參數”（或“使用的自由度”）。