如何計算 IID 均勻隨機變量樣本的最大值的概率密度函數？
給定隨機變量
在哪裡是 IID 統一變量，我如何計算的 PDF?
這個問題可能是作業，但我覺得這個經典的初等概率問題幾個月後仍然缺乏完整的答案，所以我在這裡給出一個。
從問題陳述中，我們想要分佈
$$ Y = \max { X_1, …, X_n } $$
在哪裡 $ X_1, …, X_n $ 是獨立同居 $ {\rm Uniform}(a,b) $ . 我們知道 $ Y < x $ 當且僅當樣本的每個元素都小於 $ x $ . 然後，正如@varty 的提示中所指出的那樣，再加上 $ X_i $ 是獨立的，允許我們推斷
$$ P(Y \leq x) = P(X_1 \leq x, …, X_n \leq x) = \prod_{i=1}^{n} P(X_i \leq x) = F_{X}(x)^n $$
在哪裡 $ F_{X}(x) $ 是均勻分佈的 CDF，即 $ \frac{y-a}{b-a} $ . 因此，CDF 的 $ Y $ 是 $$ F_{Y}(y) = P(Y \leq y) = \begin{cases} 0 & y \leq a \ \phantom{} \left( \frac{y-a}{b-a} \right)^n & y\in(a,b) \ 1 & y \geq b \ \end{cases} $$
自從 $ Y $ 具有絕對連續分佈，我們可以通過對 CDF 進行微分推導出其密度。因此密度 $ Y $ 是
$$ p_{Y}(y) = \frac{n(y-a)^{n-1}}{(b-a)^{n}} $$
在特殊情況下 $ a=0,b=1 $ , 我們有 $ p_{Y}(y)=ny^{n-1} $ ，這是一個Beta 分佈的密度 $ \alpha=n $ 和 $ \beta=1 $ ， 自從 $ {\rm Beta}(n,1) = \frac{\Gamma(n+1)}{\Gamma(n)\Gamma(1)}=\frac{n!}{(n-1)!} = n $ .
請注意，如果您要按遞增順序對樣本進行排序，您將獲得的序列 - $ X_{(1)}, …, X_{(n)} $ - 稱為訂單統計。這個答案的概括是所有訂單統計 $ {\rm Uniform}(0,1) $ 如@bnaul 的回答中所述，分佈式樣本具有 Beta 分佈。