我們可以分析計算隨機變量的絕對值的平均值嗎？
假設我們有一個具有已知統計特性（均值、方差、偏度、峰度）的分佈。我們還假設均值等於零。所考慮的隨機變量的絕對值的平均值是否有解析表達式？
換句話說，我們可以這樣說：
avg(abs(x)) = F(var(x), skew(x), kurt(x))
一般來說，知道這 4 個屬性不足以告訴您對隨機變量絕對值的期望。作為證明，這裡有兩個離散分佈 $ X $ 和 $ Y $ 均值為 0 且具有相同的方差、偏斜和峰度，但對於 $ \mathbb{E}(|X|) \ne \mathbb{E}(|Y|) $ .
t P(X=t) P(Y=t) -3 0.100 0.099 -2 0.100 0.106 -1 0.100 0.085 0 0.400 0.420 1 0.100 0.085 2 0.100 0.106 3 0.100 0.099您可以驗證這些分佈的第 1、第 2、第 3 和第 4 個中心矩相同，並且絕對值的期望值不同。
編輯：解釋我是如何找到這個例子的。
為了便於計算，我決定：
- $ X $ 和 $ Y $ 兩者都是對稱的 $ 0 $ ，因此均值和偏斜將自動為 $ 0 $ .
- $ X $ 和 $ Y $ 兩者都是離散的，取值 $ {-n, .., +n} $ 對於一些 $ n $ .
對於給定的分佈 $ X $ ，我們想找到另一個分佈 $ Y $ 滿足聯立方程 $ \mathbb{E}(Y^2) = \mathbb{E}(X^2) $ 和 $ \mathbb{E}(Y^4) = \mathbb{E}(X^4) $ . 我們發現 $ n = 2 $ 不足以提供多種解決方案，因為受上述約束，我們只有 2 個自由度：一旦我們選擇 $ f(2) $ 和 $ f(1) $ ，其餘分佈是固定的，我們的兩個變量中的兩個聯立方程有唯一解，所以 $ Y $ 必須具有相同的分佈 $ X $ . 但 $ n = 3 $ 給我們 3 個自由度，所以應該導致無限解。
給定 $ X $ ，我們的 3 個揀選自由度 $ Y $ 是：
$$ f_Y(1) = f_X(1)+p \ f_Y(2) = f_X(2)+q \ f_Y(3) = f_X(3)+r $$
那麼我們的聯立方程變為：
$$ \begin{align} p + 4q + 9r& = 0 \ p + 16q + 81r& = 0 \end{align} $$
一般的解決方案是：
$$ p = 15r \ q = -6r \ $$
最後我隨意挑選 $$ \begin{align} f_X(1) & = 0.1 \ f_X(2) & = 0.1 \ f_X(3) & = 0.1 \ r & = -0.001 \end{align} $$
給我上面的反例。