Distributions
推導二元泊松分佈
我最近遇到了二元泊松分佈，但我對如何推導出它有點困惑。
分佈由下式給出：
據我所知，項是衡量之間的相關性和; 因此，當和是獨立的，並且分佈簡單地成為兩個單變量泊松分佈的乘積。
考慮到這一點，我的困惑是基於求和項——我假設這個項解釋了兩者之間的相關性和.
在我看來，總和構成了二項式累積分佈函數的某種乘積，其中“成功”的概率由下式給出並且“失敗”的概率由下式給出， 因為，但我可能會離開這個。
有人可以就如何得出這種分佈提供一些幫助嗎？此外，如果它可以包含在任何答案中，該模型如何擴展到多變量場景（比如三個或更多隨機變量），那就太好了！
（最後，我注意到之前發布了一個類似的問題（Understanding the bivariate Poisson distribution），但實際上並未探索推導。）
在幻燈片演示中，Karlis 和 Ntzoufras 將二元泊松定義為在哪裡獨立有泊松分佈。回想一下，擁有這樣的分佈意味著
為了
事件是事件的不相交並集
對所有人這使得所有三個分量都是非負整數，我們可以從中推斷出. 因為是獨立的，它們的概率相乘，因此
這是一個公式；我們完了。 但是要看到它等價於問題中的公式，使用泊松分佈的定義將這些概率寫成參數和（假設兩者都不是為零）以代數方式對其進行重新加工，以使其看起來盡可能像產品：
如果你真的想要——這有點暗示——你可以使用二項式係數重新表達總和中的項和, 產生
與問題完全相同。
根據所需的靈活性，可以通過多種方式泛化到多變量場景。最簡單的方法是考慮分佈
對於獨立泊松分佈變量. 為了獲得更大的靈活性，可以引入額外的變量。例如，使用獨立泊松變量並考慮多元分佈,