對於什麼（對稱）分佈，樣本均值比樣本中位數更有效？
我一直相信樣本中位數比樣本均值更能衡量集中趨勢，因為它忽略了異常值。因此，我驚訝地得知（在另一個問題的答案中）對於從正態分佈中抽取的樣本，樣本均值的方差小於樣本中位數的方差（至少對於大）。
我從數學上理解為什麼這是真的。是否有一種“哲學”的方式來看待這個問題，這有助於直覺何時使用中值而不是其他分佈的平均值？
是否有數學工具可以幫助快速回答特定分佈的問題？
假設我們將考慮限制在均值和方差有限的對稱分佈（例如，柯西不考慮在內）。
此外，我最初將把自己限制在連續的單峰情況下，實際上主要是在“不錯”的情況下（儘管我可能稍後會回來討論其他一些情況）。
相對方差取決於樣本量。通常討論 ( $ n $ 倍）漸近方差，但我們應該記住，在較小的樣本量下情況會有所不同。（中位數有時比其漸近行為所暗示的要好或差。例如，在正常情況下 $ n=3 $ 它的效率約為 74% 而不是 63%。不過，在相當適中的樣本量下，漸近行為通常是一個很好的指導。）
漸近線很容易處理：
意思是： $ n\times $ 方差 = $ \sigma^2 $ .
中位數： $ n\times $ 方差 = $ \frac{1}{[4f(m)^2]} $ 在哪裡 $ f(m) $ 是中位數處的密度高度。
因此，如果 $ f(m)>\frac{1}{2\sigma} $ ，中位數將漸近更有效。
[在正常情況下， $ f(m)= \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} $ ， 所以 $ \frac{1}{[4f(m)^2]}=\frac{\pi\sigma^2}{2} $ , 其中漸近相對效率 $ 2/\pi $ )]
我們可以看到，中位數的方差將取決於非常接近中心的密度的行為，而均值的方差取決於原始分佈的方差（在某種意義上，它受到各處密度的影響，並且在特別是，它的行為方式離中心更遠）
也就是說，雖然中位數受異常值的影響比均值小，而且我們經常看到當分佈是重尾分佈時它的方差低於均值（這確實會產生更多的異常值），但真正推動了中位數是內點。經常發生的情況是（對於一個固定的方差），兩者往往會同時出現。
也就是說，從廣義上講，隨著尾巴變重，有一個趨勢（在固定值 $ \sigma^2 $ ）分佈同時獲得“峰值”（更多峰度，在皮爾遜的原始，如果鬆散的意義上）。然而，這並不是一定的事情——在廣泛的普遍認為的密度範圍內往往都是這種情況，但並不總是如此。當它確實成立時，中位數的方差將減少（因為分佈在中位數的緊鄰區域有更多概率），而均值的方差保持不變（因為我們固定 $ \sigma^2 $ ）。
因此，在各種常見情況下，當尾巴很重時，中位數通常會比平均值“更好”（但我們必須記住，構建反例相對容易）。所以我們可以考慮幾個案例，它們可以向我們展示我們經常看到的東西，但我們不應該過多地閱讀它們，因為較重的尾巴並不普遍與較高的峰值。
我們知道中位數的效率約為 63.7%（對於 $ n $ 大）作為正常的平均值。
怎麼樣，比如說一個邏輯分佈，它像正態分佈一樣是關於中心的近似拋物線，但有更重的尾巴（如 $ x $ 變大，它們變成指數）。
如果我們將尺度參數設為 1，則邏輯有方差 $ \pi^2/3 $ 和高度在 1/4 的中位數，所以 $ \frac{1}{4f(m)^2}=4 $ . 那麼方差比為 $ \pi^2/12\approx 0.82 $ 所以在大樣本中，中位數的效率大約是平均值的 82%。
讓我們考慮另外兩個具有類似指數尾巴但峰度不同的密度。
首先，雙曲割線 ( $ \text{sech} $ ) 分佈，其標準形式的方差為 1，高度在 $ \frac{1}{2} $ ，所以漸近方差的比率為 1（兩者在大樣本中同樣有效）。然而，在小樣本中，均值更有效（其方差約為中位數的 95%，當 $ n=5 $ ， 例如）。
在這裡，我們可以看到，隨著我們通過這三個密度（保持方差不變），中位數的高度是如何增加的：
我們可以讓它走得更高嗎？我們確實可以。例如，考慮雙指數。標準形式的方差為 2，中位數的高度為 $ \frac{1}{2} $ （因此，如果我們如圖所示縮放到單位方差，則峰值位於 $ \frac{1}{\sqrt{2}} $ ，略高於 0.7）。中位數的漸近方差是均值的一半。
如果我們使給定方差的分佈更加峰值（也許通過使尾部比指數重），中位數仍然可以更有效（相對而言）。這個峰值可以達到多高真的沒有限制。
如果我們改為使用 t 分佈中的示例，則會看到大致相似的效果，但進展會有所不同；交叉點略低於 $ \nu=5 $ df（實際上約為 4.68）——對於較小的 df，中位數更有效（漸近），對於較大的 df，平均值是。
…
在有限的樣本量下，有時可以顯式計算中位數分佈的方差。如果這不可行 - 甚至只是不方便 - 我們可以使用模擬來計算從分佈中抽取的隨機樣本的中位數的方差（或方差的比率*）（這是我為得到上面的小樣本數字所做的） ）。
- 儘管我們通常實際上並不需要均值的方差，因為如果我們知道分佈的方差我們可以計算它，這樣做可能在計算上更有效，因為它就像一個控制變量（均值和中位數通常非常相關）。
