我如何分析證明隨機劃分金額會導致指數分佈（例如收入和財富）？
在當前發表在《科學》雜誌上的文章中，提出了以下建議：
假設你將 5 億的收入隨機分配給 10,000 人。只有一種方法可以給每個人平等的 50,000 份。所以如果你隨機分配收入，平等是極不可能的。但是有無數種方法可以給少數人很多錢，給很多人一點錢或什麼也不給。事實上，考慮到你可以分配收入的所有方式，它們中的大多數都會產生指數級的收入分配。
我已經使用以下 R 代碼完成了此操作，這似乎重申了結果：
library(MASS) w <- 500000000 #wealth p <- 10000 #people d <- diff(c(0,sort(runif(p-1,max=w)),w)) #wealth-distribution h <- hist(d, col="red", main="Exponential decline", freq = FALSE, breaks = 45, xlim = c(0, quantile(d, 0.99))) fit <- fitdistr(d,"exponential") curve(dexp(x, rate = fit$estimate), col = "black", type="p", pch=16, add = TRUE)
我的問題我
如何分析證明結果分佈確實是指數的？
附錄
感謝您的回答和評論。我已經考慮過這個問題，並提出了以下直觀的推理。基本上會發生以下情況（注意：前面的過於簡單化）：你會按照數量並拋擲（有偏見的）硬幣。每次您獲得例如正面時，您都會劃分金額。您分發生成的分區。在離散情況下，拋硬幣遵循二項分佈，分區是幾何分佈的。連續的類似物分別是泊松分佈和指數分佈！（通過同樣的推理，為什麼幾何分佈和指數分佈具有無記憶的特性也變得直觀清晰——因為硬幣也沒有記憶）。
為了使問題更簡單，讓我們考慮每個人的份額的允許值是離散的，例如整數的情況。等效地，人們也可以想像將“收入軸”劃分為等間隔的區間，並通過中點逼近所有落入給定區間的值。
將總收入表示為， 這-th 允許的值為, 總人數為，最後是持有股份的人數作為，應滿足以下條件：
和
請注意，許多不同的分配方式可以代表相同的分配。例如，如果我們考慮在兩個人之間分配 4 美元，給Alice 3美元，給 Bob 1美元，反之亦然，兩者的分配方式相同。由於分配是隨機的，因此相應的分配方式數量最多的分配最有可能發生。
要獲得這樣的分佈，必須最大化
在上面給出的兩個約束下。拉格朗日乘子法是一種典型的方法。此外，可以選擇與代替本身，作為“" 是單調遞增函數。也就是說，
在哪裡是拉格朗日乘數。請注意，根據斯特林公式，
導致
因此，
然後它遵循
這是一個指數分佈。可以使用約束獲得拉格朗日乘數的值。從第一個約束，
在哪裡是允許值之間的間距。相似地，
因此，我們有
和
這實際上是一個最大值，而不是最小值或鞍點，可以從 Hessian 的. 因為是線性的, 與：
和
因此，Hessian 是凹的，我們發現的確實是一個最大值。 功能真的是分佈分佈。對於我們通常觀察到的分佈接近最可能的分佈，應該足夠窄。從 Hessian 可以看出，這種情況相當於. （這也是斯特林公式可靠的條件。）因此，要實際看到指數分佈，收入軸上的分區（對應於 OP 直方圖中的 bin）應該足夠寬，以便分區中的人數要多得多比團結。向著尾巴，在哪裡趨於零，這個條件總是注定要失敗的。
**注意：**這正是物理學家理解統計力學中的玻爾茲曼分佈的方式。正如我們所考慮的，對於這種情況，指數分佈基本上是精確的.