Distributions
在火車到達之前使用什麼分佈來模擬時間？
我正在嘗試對火車到達時間的一些數據進行建模。我想使用一個捕獲**“我等待的時間越長，火車出現的可能性就越大”的**分佈。看起來這樣的分佈應該看起來像 CDF，所以 P(train show up | waited 60 minutes) 接近 1。什麼分佈適合在這裡使用？
兩個概率的乘積
在之間的時間首次到達的概率 $ t $ 和 $ t+dt $ （等待時間）等於乘以
- 之間到達的概率 $ t $ 和 $ t+dt $ （這可能與到達率有關 $ s(t) $ 有時 $ t $ )
- 以及在時間之前沒有到達的概率 $ t $ （否則它不會是第一個）。
後一個術語與：
$$ P(n=0,t+dt) = (1-s(t)dt) P(n=0,t) $$
或者
$$ \frac{\partial P(n=0,t)}{\partial t} = -s(t) P(n=0,t) $$
給予：
$$ P(n=0,t) = e^{\int_0^t-s(t) dt} $$
等待時間的概率分佈為：
$$ f(t) = s(t)e^{\int_0^t-s(t) dt} $$
累積分佈的推導。
或者，您可以使用表達式來表示少於一次到達的概率，條件是時間是 $ t $
$$ P(n<1|t) = F(n=0;t) $$
和時間之間到達的概率 $ t $ 和 $ t+dt $ 等於導數
$$ f_{\text{arrival time}}(t) = - \frac{d}{d t} F(n=0 \vert t) $$
例如，這種方法/方法可用於將伽馬分佈推導為泊松過程中第 n 次到達的等待時間。（泊松過程的等待時間遵循伽馬分佈）
兩個例子
您可能會將這與等待悖論聯繫起來（請解釋等待悖論）。
- **指數分佈：**如果到達像泊松過程一樣是隨機的，那麼 $ s(t) = \lambda $ 是恆定的。下一次到達的概率與之前沒有到達的等待時間無關（例如，如果您多次擲公平骰子而沒有六次，那麼下一次擲骰時您不會突然有更高的概率獲得六次，請參閱賭徒謬誤） . 您將得到指數分佈，等待時間的 pdf 為：$$ f(t) = \lambda e^{-\lambda t} $$
- **恆定分佈：**如果到達的速度是恆定的（例如火車按照固定的時刻表到達），那麼當一個人已經等待了一段時間時，到達的概率就會增加。假設火車應該每到 $ T $ 分鐘然後頻率，在已經等待之後 $ t $ 分鐘是 $ s(t) = 1/(T-t) $ 等待時間的pdf將是：$$ f(t)= \frac{e^{\int_0^t -\frac{1}{T-t} dt}}{T-t} = \frac{1}{T} $$這是有道理的，因為每次之間 $ 0 $ 和 $ T $ 應該有相等的概率是第一個到達的。
因此，與您的問題有關的是第二種情況，即“當一個人已經等待了一段時間時，到達的可能性正在增加”。
根據您的情況，可能需要進行一些調整。有了更多信息，概率 $ s(t) dt $ 讓火車在某個時刻到達可能是一個更複雜的函數。