Distributions
具有相同矩的分佈是否相同
- 給定兩個允許所有階矩的分佈，如果兩個分佈的所有矩都相同，那麼它們是相同的分佈 ae？
- 給定兩個允許矩生成函數的分佈，如果它們具有相同的矩，那麼它們的矩生成函數是否相同？
讓我以相反的順序回答：
- 是的。如果它們的 MGF 存在，它們將是相同的*。
事實上，它來自您在帖子中給出的結果。如果 MGF 唯一地**確定分佈，並且兩個分佈具有 MGF 並且它們具有相同的分佈，則它們必須具有相同的 MGF（否則您將有一個反例來說明“MGF 唯一地確定分佈”）。
- 對於“相同”的某些值，由於“幾乎無處不在”這句話
** ‘幾乎無處不在’
- 不——因為存在反例。
Kendall 和 Stuart 列出了一個連續分佈族（可能最初是由於 Stieltjes 或那個年代的某個人，但我的回憶不清楚，已經有幾十年了），它們具有相同的矩序列但又不同。
Romano 和 Siegel 的書（概率與統計中的反例）在第 3.14 節和第 3.15 節（第 48-49 頁）中列出了反例。（實際上，看著他們，我想他們都在肯德爾和斯圖爾特。）
Romano, JP 和 Siegel, AF (1986)，
概率和統計中的反例。
博卡拉頓：查普曼和霍爾/CRC。
他們將 3.15 歸功於 Feller, 1971, p227
第二個例子涉及密度族
密度不同為變化，但矩序列是相同的。
時刻序列相同涉及分裂進入零件
然後顯示第二部分對每個矩的貢獻為 0，因此它們都與第一部分的矩相同。
這是兩個密度的樣子。藍色是左極限的情況（)，綠色是這樣的. 右側的圖是相同的，但軸上有對數刻度。
更好的是，也許，採用更大的範圍並在 x 軸上使用四根刻度，使藍色曲線筆直，綠色曲線在其上方和下方像正弦曲線一樣移動，如下所示：
藍色曲線上方和下方的擺動——無論幅度更大或更小——結果使所有正整數矩保持不變。
請注意，這也意味著我們可以通過選擇得到一個奇數矩為零但不對稱的分佈與不同並採取 50-50 的混合， 和. 結果必須取消所有奇數時刻，但兩半不一樣。
