哪個分佈的最大均勻分佈？

讓我們考慮一下 $ Y_n $ 最大值 $ n $ 獨立同居樣本 $ X_i $ 同分佈：

$ Y_n = max(X_1, X_2, …, X_n) $

我們是否知道一些常見的分佈 $ X $ 這樣 $ Y $ 是均勻分佈的 $ U(a,b) $ ?

我想我們總是可以“構建一個分佈” $ X $ 強制執行此條件 $ Y $ 但我只是想知道一個著名的發行版是否滿足這個條件。

讓 $ F $ 成為的 CDF $ X_i $ . 我們知道，CDF $ Y $ 是 $$ G(y) = P(Y\leq y)= P(\textrm{all } X_i\leq y)= \prod_i P(X_i\leq y) = F(y)^n $$

現在，不失一般性 $ a=0 $ , $ b=1 $ ，因為我們可以改變和縮放 $ X $ 到 $ [0,,1] $ 然後 unshift 和 unscale 的分佈 $ Y $ .

那麼做什麼 $ F $ 必須得到 $ G(y) =y $ ? 我們需要 $ F(x)= x^{1/n}I_{[0,1]} $ ， 所以 $ f(x)=\frac{1}{n}x^{1/n-1}I_{[0,1]} $ ，這是一個 Beta(1/n,1) 密度。

讓我們檢查

> r<-replicate(100000, max(rbeta(4,1/4,1)))
> hist(r)

引用自：https://stats.stackexchange.com/questions/485784