為什麼所有已知的分佈都是單峰的？
我不知道任何多模式分佈。
為什麼所有已知的分佈都是單峰的？是否有任何“著名”發行版具有不止一種模式？
當然，分佈的混合通常是多峰的，但我想知道是否存在任何具有多個模式的“非混合”分佈。
在對問題的評論中回答了問題的第一部分：許多“品牌”分佈是多模式的，例如任何 Beta分佈與和. 那麼，讓我們轉向問題的第二部分。
所有離散分佈顯然都是（原子的，單峰的）混合物。
我將證明大多數連續分佈也是單峰分佈的混合。這背後的直覺很簡單：我們可以從 PDF 的凹凸不平的圖形中逐一“剔除”凹凸，直到圖形是水平的。凸起成為混合物成分，每個成分顯然都是單峰的。
因此，除了一些不尋常的分佈，其 PDF 高度不連續，**問題的答案是“無”：**所有絕對連續、離散或這兩者組合的多峰分佈都是單峰分佈的混合。
考慮連續分佈誰的 PDF是連續的（這些是“絕對連續”的分佈）。（連續性並沒有太大的限制；可以通過更仔細的分析進一步放寬，假設不連續點是離散的。）
為了應對可能出現的常數值的“高原”，將“模式”定義為一個區間 （這可能是一個單點) 使得
- 有一個常數值說.
- 在任何嚴格包含的區間上都不是常數.
- 存在一個正數使得最大值達到等於.
讓是任何模式. 因為是連續的，有區間包含為此不減少（這是一個適當的間隔，而不僅僅是一個點）並且不增加（這也是一個適當的間隔）。讓是所有這些值的無窮大並且所有這些價值的至高無上。
這種結構在圖上定義了一個“駝峰”從延伸到. 讓是較大的和. 通過構造，點集在為此是適當的間隔嚴格包含（因為它包含整個或者）。
在這個多模態 PDF 的插圖中，模態由水平軸上的紅點標識。填充的紅色部分的水平範圍是間隔：它是由模式確定的駝峰的底部. 那個駝峰的底部在高處. 原始 PDF 是紅色填充和藍色填充的總和。請注意，藍色填充附近只有一種模式; 原始模式在已被刪除。
寫作對於長度， 定義
和
什麼時候和否則。（這使得順便說一下，一個連續函數。）分子是升到上面和分母是圖形之間的面積和. 因此是非負的並且有總面積：它是概率分佈的PDF。通過建設它有一個獨特的模式.
也通過構造，函數
是提供的PDF. （顯然，如果一無所有它必須是單峰開始的。）此外，它在區間中沒有模式（它是恆定的，這就是為什麼前面仔細地將模式定義為間隔是必要的）。此外，
是單峰 PDF的混合和PDF.
迭代這個過程（它作為連續函數的線性組合仍然是一個連續函數，使我們能夠像以前一樣進行），產生一系列模式; 相應的權重序列; 和 PDF 存在限制結果是因為 (a) 區間is flattened 包括一個適當的區間，在前面沒有被展平操作和 (b) 實數不能分解為多個可數的此類區間。極限不能有任何模式，因此是常數，它必須為零（否則它的積分會發散）。最後，已被表示（可能不是唯一的，因為選擇模式的順序很重要）作為混合
單峰分佈，QED。
