真值為零時如何計算相對誤差？
當真值為零時如何計算相對誤差？
說我有 $ x_{true} = 0 $ 和 $ x_{test} $ . 如果我將相對誤差定義為：
$$ \text{relative error} = \frac{x_{true}-x_{test}}{x_{true}} $$
那麼相對誤差總是未定義的。相反，如果我使用定義：
$$ \text{relative error} = \frac{x_{true}-x_{test}}{x_{test}} $$
那麼相對誤差總是100%。這兩種方法似乎都沒有用。還有其他選擇嗎？
有很多選擇，具體取決於目的。
一種常見的方法是實驗室質量控製程序中使用的“相對百分比差異”或 RPD。儘管您可以找到許多看似不同的公式，但它們都歸結為將兩個值的差異與其平均大小進行比較：
這是一個有符號的表達式，當超過和消極的時候超過. 它的價值總是介於和. 通過在分母中使用絕對值，它以合理的方式處理負數。我能找到的大部分參考資料，例如新澤西州 DEP 站點修復計劃數據質量評估和數據可用性評估技術指南，都使用因為他們只對相對誤差的大小感興趣。
在浮點數值算法中經常用作相對容差測試。同一篇文章還指出，像和可以概括為
函數在哪裡直接取決於大小和（通常假設和是積極的）。作為示例，它提供了它們的最大值、最小值和算術平均值（有和沒有取絕對值和本身），但可以考慮其他類型的平均值，例如幾何平均值, 調和平均值和方法. (對應於和對應的限制為.) 人們可能會選擇一個基於預期的統計行為和. 例如，對於近似對數正態分佈，幾何平均值將是一個有吸引力的選擇因為在這種情況下它是一個有意義的平均值。
當分母為零時，這些公式中的大多數都會遇到困難。在許多應用程序中，將差異設置為零是不可能的，或者是無害的.
請注意，所有這些定義都有一個基本的不變性：無論相對差異函數如何可能是，當參數被統一重新縮放時，它不會改變：
正是這個屬性讓我們考慮成為一個相對的差異。因此，特別是一個非不變函數，如
根本沒有資格。無論它可能有什麼優點，它都沒有表現出相對的差異。
故事並沒有到此結束。 我們甚至可能會發現將不變性的含義推得更遠一點是富有成效的。
所有有序實數對的集合在哪裡被認為是相同的是實投影線 . 在拓撲意義上和代數意義上，是一個圓圈。任何確定一條通過原點的唯一線. 什麼時候它的斜率是; 否則我們可以認為它的斜率是“無限的”（或者是負的或者是正的）。該垂直線的鄰域由具有極大正斜率或極大負斜率的線組成。我們可以根據它們的角度參數化所有這些線， 和. 與每一個這樣的是圓上的一個點，
因此，在圓上定義的任何距離都可以用來定義相對差異。
作為這可能導致的示例，請考慮圓上通常的（歐幾里德）距離，其中兩點之間的距離是它們之間角度的大小。相對差異最小時，對應於（或者什麼時候和有相反的標誌）。從這個角度來看，正數的自然相對差異和將是到這個角度的距離：
首先，這是相對距離–但即使在. 此外，它不會爆炸，而是（作為有符號距離）限制在和，如圖所示：
這暗示了在選擇測量相對差異的方法時選擇的靈活性。
