如何估計積分的準確性？
計算機圖形學中一個極其常見的情況是某個像素的顏色等於某個實值函數的積分。通常該函數太複雜而無法解析求解，因此我們只能使用數值近似。但是該函數的計算成本通常也很高，因此我們可以計算的樣本數量受到很大限制。（例如，您不能只決定抽取一百萬個樣本並留在這裡。）
一般來說，你想要做的是在隨機選擇的點上評估函數，直到估計的積分變得“足夠準確”。這讓我想到了我的實際問題：你如何估計積分的“準確性”？
更具體地說，我們有，這是由一些複雜、緩慢的計算機算法實現的。我們想估計
我們可以計算對於任何我們渴望，但它很昂貴。所以我們要選擇幾個- 隨機值，當估計為變得可以接受的準確。當然，要做到這一點，我們需要知道當前估計實際上有多準確。
我什至不確定哪種統計工具適合此類問題。但在我看來，如果我們完全不知道，那麼問題就無法解決了。例如，如果您計算一千次，它總是為零，你估計的積分將為零。但是，什麼都不知道，仍有可能除了您碰巧採樣的點之外的所有地方，所以您的估計是非常錯誤的！
那麼，也許我的問題應該從**“我們需要知道什麼使估計我們的積分的準確性成為可能**？”例如，通常我們知道不可能永遠是負面的，這似乎是一個高度相關的事實……
**編輯：**好的，所以這似乎產生了很多響應，這很好。我將嘗試在此處填寫一些額外的背景信息，而不是單獨回复每個人。
當我說我們“一無所知”, 我的意思是我們可以計算，但我們對此一無所知。我希望（並且評論似乎同意）擁有更多知識可以讓我們使用更好的算法。似乎知道界限和/或的一階導數會有用的。
在我思考的大多數問題中，根據場景幾何形狀和所考慮場景中的位置而變化。這不是你可以分析解決的一些漂亮、整潔的代數。通常表示光強度。顯然，光強度永遠不可能是負值，但它的正值可以有多大是沒有限制的。最後，物體邊緣通常會導致明顯的不連續性，通常你無法預測這些在哪裡。
簡而言之，該死的很繁瑣，所以我的第一個停靠港是在沒有進一步信息的情況下詢問我們可以用它做什麼。似乎沒有至少一些上限和下限，答案是“不是很多”……所以看起來我需要開始做出一些假設才能在這裡取得任何進展。
另外，考慮到“蒙特卡洛”出現的次數，我猜這是這種整合的技術術語？
為簡單起見，假設對於 [a,b] 中的所有 x，f(x)>=0，並且我們知道 M 使得對於 [a,b] 中的所有 x，f(x) < M。f 在 [a,b] 上的積分 I 可以包含在寬度為 ba 和高度為 M 的矩形中。 f 的積分是矩形在函數 f 下的比例乘以 M(ba)。現在，如果您在矩形中隨機選取點，如果該點落在曲線下方，則將其視為成功，否則視為失敗，您已經設置了伯努利試驗。內部點的樣本分數是二項式比例，因此具有均值 p 和方差 p(1-p)/n，其中 n 是所取點的數量。因此，您可以為 p 構造一個置信區間，並且因為 I =p M(ba) 也為 I 構建置信區間，因為對於估計 I^ =p^ M (ba)，Var(I^)= M（巴）p(1-p)/n。因此，要使用統計數據來確定積分足夠準確的最小 n，您可以指定 I^ 方差的上限 S。注意每個 0<=p<=1 的 p(1-p)/n <=1/(4n)。所以設 S=M（巴）/(4n) 或 n = 最小整數 > M（巴）/(4S)。