說黎曼和是積分的無偏估計是錯誤的嗎？
說積分的黎曼和近似是錯誤的嗎
$$ \begin{align} \int_a^b f(t) \mathrm{d}t \approx \sum_{k=1}^{n_\text{samples}} f(t^{\ast}_k)\Delta t, \end{align} $$
在哪裡 $ \Delta t = \left(b - a\right)/n_\text{samples} $ ，以及在哪裡 $ t^{\ast}_k $ 子區間的左端點或右端點或中點是對真實積分的無偏估計嗎？
蒙特卡洛積分逼近的論點 $ N $ 區間內的均勻樣本 $ [a,b] $ 似乎隨著樣本數量趨於無窮大，那麼近似值將是概率為 1 的精確積分（參見例如https://cs.dartmouth.edu/wjarosz/publications/dissertation/appendixA.pdf，第 153 頁）
黎曼和的同樣限制是黎曼積分（的定義），因此我認為黎曼和也是無偏的。
根據我在谷歌上找到的一篇博文（https://blog.evjang.com/2016/09/riemann-bias.html），由於確定性步驟，黎曼和是有偏差的。
但是由於蒙特卡洛積分是無偏的論點使用 $ N $ 到無窮大，我不明白為什麼不能將相同的論點用於黎曼和近似。
如果黎曼和是無偏的確實是錯誤的，如果有人能解釋論點中的差異，我會很高興。
您似乎在這裡交換了兩個不同的概念。這些概念是無偏且一致的，它們是估計器的屬性。估計器序列 $ (T_n)_{n=1}^\infty $ 據說對於一個數量是無偏的 $ \theta $ 如果，對於所有人 $ n,\in\mathbb{N} $ ,
$$ E[T_n] = \theta \quad. $$
如果它在概率上收斂，則稱它是一致的 $ \theta $ .
這些是不同的概念：第一個說，對於每個有限的樣本量，您的估計量的平均值是 $ \theta $ . 另一種說法是，隨著樣本量的增加，估計量會任意接近 $ \theta $ 隨著概率的增加。
讓 $ I = \int_a^bf(x)dx $ 是您感興趣的數量（假設它存在）。最基本的蒙特卡洛方法所做的是觀察
$$ I = \int_a^bf(x)dx = (b-a)\int_a^bf(x)\frac{1}{b-a}dx = (b-a)E[f(X)] \quad. $$
在最後一行，我們把積分寫成 $ f(X) $ ， 在哪裡 $ X $ 有一個均勻的分佈 $ (a,b) $ . 因此，如果我們對 iid 隨機變量進行抽樣 $ (X_i)_{i=1}^n $ 和 $ X_1 \sim U((a,b)) $ ，然後估計量
$$ T_n = \frac{(b-a)}{n}\sum_{i=1}^nf(X_i) \quad, $$
很容易證明是無偏的 $ I $ .
當您想到黎曼和時，通常會採用確定性分區。如果它是確定性的，那麼任何固定樣本量的期望值就是它自身的求和值，通常不是積分的值。