使用 Riemann-Stieltjes 積分計算離散 RV 期望的示例？
Riemann-Stieltjes 積分錶示法用於一些概率文本中的期望表達式。基本上，dF(x) 出現在積分中，而不是 f(x)dx 出現在積分中，因為 CDF F(x) 對於離散分佈可能不可微。
我聽到的這樣做的動機通常是提供一個統一的期望定義，而不是用離散的情況和連續的情況來對待它。它還應該使考慮離散和連續的混合變得更容易。但是我從未見過使用黎曼-斯蒂爾切斯積分計算離散分佈（或點質量和連續分佈的混合分佈）的期望的示例。
有人可以提供兩者或任何一個的例子嗎？謝謝！
由於您聽起來好像對積分做的不多，所以我將以非常基本（且略顯手波）的方式討論這個問題，應該傳達一些發生的事情。但是，您可能希望從提醒開始，查看 Stieltjes 積分的定義，例如Mathworld或Wikipedia。正確地進行積分涉及考慮定義中的限制，並且在其他情況不明顯的情況下，這確實是您需要做的。
如果分佈是純離散的，那麼是 0，除了在跳躍處，它所在的地方- 所以對於離散情況，積分實際上是通常的總和。
舉個例子，考慮一個伯努利（0.4）。
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所以對於這個例子，. （這不僅僅是“它們的價值相等”，而是“那些東西是表達同一事物的不同方式”；我可能應該使用更合適的符號。）
所以在這裡是無處不在，但在（在哪裡是） 和（它在哪裡）。所以這個表達式只是.
雖然統一離散和連續公式很簡潔，但我並不真正想到它的大部分價值。我看到更多的價值在於它適用於既沒有離散隨機變量也沒有連續隨機變量的情況——在很多情況下你會遇到實際數據，所以這不是一些深奧的理論問題。擁有可以平滑地處理那些“既不離散也不連續”的情況以及同時處理離散和連續的特殊情況的符號，這就是有一些真正好處的地方。
舉一個很好的簡單案例，例如，給定月份和位置的每日降雨量分佈，可能建模為以下概率的混合零雨，非零雨量為對數正態（在哪裡，和)（可能被稱為“零膨脹對數正態”模型）
那麼在這種情況下，一個積分，例如期望的積分，可以很容易地處理，因為它在跳躍之前和跳躍時就像離散定義一樣工作（只添加在跳躍處，結果是添加到積分，因為所有概率在) 然後在這種情況下，上面的任何地方（因為這個函數足夠好，Stieltjes 和普通的黎曼是一樣的）其餘的就像一個黎曼積分多於，只要我們記住小於對數正態（以上你可以看到相對於純對數正態 cdf 被“壓扁”），準確地考慮了概率（)的超過這裡。
當然，這不僅僅適用於; 我只是舉一些簡單的案例來展示一下正在發生的事情。（whuber 在評論中指出了一個很好的例子，他對一個非簡單問題進行了 MGF 計算，其中分佈最終成為混合分佈）
即使只有這些非常好的函數（你可以像黎曼一樣對待它們，它們是連續的，這是 Stieltjes 涵蓋的案例的一個子集），在這種混合中存在無限的案例（而不僅僅是“離散”或“連續” ) 可以通過這個符號來處理。
Advanced Theory of Statistics（Kendall 和 Stuart——或者在最近的版本中，Stuart 和 Ord）是一個有用的參考，它廣泛使用這個積分來顯示或討論各種結果。不要讓標題嚇到你，這是一本非常易讀的書。
因此，如果您（例如）在查看 Chebyshev 不等式的同時使用積分，您不僅僅是在同時進行離散情況和連續情況……您正在涵蓋 Stieltjes 積分適用於的任何分佈- 所以如果你想知道切比雪夫會發生什麼，如果你有一個分佈，比如降雨一，瞧，這一切都由同樣的發展來處理。如果明天，你的朋友出現了一個零一膨脹的測試版，那麼，你也已經涵蓋了。等等 …
[如果您遇到無法立即了解積分含義的情況，請返回定義並遵循它。]
（這個很好的積分可以用能夠處理更廣泛情況的東西代替——出於統計目的，通常是Lebesgue或Lesbesgue-Stieltjes積分）
