絕對標準化 t 分佈的期望值
絕對標準化 t 分佈的期望值是多少 - 即： $ E(|X|) $ ， 在哪裡 $ X $ 有標準化的t分佈嗎？
根據whuber對標準化學生 t 分佈的回答，標準化的密度 $ t $ 分佈於 $ \nu $ 自由度是
$$ f(x) = \frac{\Gamma(\frac{\nu + 1}{2})}{\Gamma(\frac{\nu}{2})} \frac{1}{\sqrt{\pi(\nu-2)}} \left[1+\frac{x^2}{\nu-2}\right]^{-\frac{\nu+1}{2}}. $$
（注意我們需要 $ \nu>2 $ 所以我們有兩個時間來標準化。）
因此，您的期望是
$$ \begin{align*} E(|X|) & = 2\int_0^\infty xf(x),dx \ & = \frac{\Gamma(\frac{\nu + 1}{2})}{\Gamma(\frac{\nu}{2})} \frac{2}{\sqrt{\pi(\nu-2)}} \int_0^\infty x\left[1+\frac{x^2}{\nu-2}\right]^{-\frac{\nu+1}{2}},dx \ &= \frac{\Gamma(\frac{\nu + 1}{2})}{\Gamma(\frac{\nu}{2})} \frac{2}{\sqrt{\pi(\nu-2)}} \left(-\frac{\nu-2}{\nu-1}\right)\left(1+\frac{x^2}{\nu-2}\right)^{\frac{1-\nu}{2}}\bigg|_0^\infty \ & = \frac{2}{\sqrt{\pi}}\frac{\Gamma(\frac{\nu + 1}{2})}{\Gamma(\frac{\nu}{2})} \frac{\sqrt{\nu-2}}{\nu-1} \end{align*} $$ 通過一個相當簡單的積分評估。
我喜歡使用模擬進行這樣的健全性檢查計算，它似乎檢查了：
> df <- 10 > nn <- 1e6 > > sims <- rt(nn,df)/(sqrt(df/(df-2)))# standardize by the variance > mean(sims) [1] -0.0006262779 > var(sims) [1] 0.9995302 > > mean(abs(sims)) [1] 0.7732408 > 2/sqrt(pi)*gamma((df+1)/2)/gamma(df/2)*sqrt(df-2)/(df-1) [1] 0.773398