Fisher-Information
Fisher信息矩陣存在的條件
不同的教科書為Fisher信息矩陣的存在引用了不同的條件。下面列出了幾個這樣的條件，每個條件都出現在“Fisher 信息矩陣”的一些定義中，但不是全部。
- 是否有一套標準的、最小的條件？
- 在以下 5 個條件中，哪些可以取消？
- 如果其中一個條件可以取消，你為什麼認為它首先被包括在內？
- 如果其中一個條件不能取消，是否意味著那些沒有具體說明的教科書給出了錯誤的定義，或者至少是一個不完整的定義？
- Zacks，統計推斷理論（1971 年），p。194.
矩陣對所有人都是肯定的. 2. Schervish, Theory of Statistics (1997, corr. 2nd printing), 定義 2.78, p. 111
套裝所有人都一樣. 3. 博羅夫科夫，數理統計（1998 年）。頁。147
是連續可微的. 4. 博羅夫科夫，數理統計（1998 年）。頁。147
是連續且可逆的。 5. Gourieroux & Monfort，統計和計量經濟學模型，第一卷（1995 年）。定義 (a)，第 81-82 頁
存在
相比之下，這裡是Lehman & Cassella 的完整條件列表。點估計理論（1998 年）。頁。124：
- 是開區間（有限、無限或半無限）
- 套裝所有人都一樣.
- 存在並且是有限的。
這是Barra, Notions fundamentales de statistique mathematique (1971) 中的完整條件列表。定義 1，第 35：
分數是為所有人定義 的, 它的每個分量都是平方可積的並且具有積分.
有趣的是，Lehman & Cassella 和 Barra 都沒有規定在積分符號下可微分，在我調查的大多數其他教科書中都會出現這種情況。
我無法訪問所有參考資料，但我想就您的一些觀點指出幾點意見：
- 博羅夫科夫，數理統計（1998 年）。頁。140 提出了另一個假設，條件 (R)，它非常強。這個條件假設. 然後，作者基本上假設Fisher信息矩陣（FIM）的每個條目都是明確定義的。
- 採用積分和微分算子假設的雙重可微性和可交換性來推導等式. 這種平等通常是有幫助的，但不是絕對必要的。
- 如果不丟棄一些 FIM 實際存在的模型，就很難建立 FIM 存在的一般條件。例如，可微性條件不是 FIM 存在的必要條件。這方面的一個例子是雙指數或拉普拉斯模型。相應的 FIM 定義良好，但密度在該模式下不是雙可微的。其他一些雙可微模型的 FIM 表現不佳，需要一些額外的條件（參見本文）。
可以提出非常一般的充分條件，但它們可能過於嚴格。FIM存在的必要條件尚未得到充分研究。那麼，你的第一個問題的答案可能並不簡單。