伽馬隨機變量的對數偏度

考慮伽馬隨機變量 . 均值、方差和偏度有簡潔的公式：

現在考慮一個對數變換的隨機變量. 維基百科給出了均值和方差的公式：

通過二伽馬和三伽馬函數，它們被定義為伽馬函數的對數的一階和二階導數。

偏度的公式是什麼？

tetragamma函數會出現嗎？

（讓我想知道的是對數正態分佈和伽馬分佈之間的選擇，請參閱Gamma 與對數正態分佈。除其他外，它們的偏度屬性不同。特別是，對數正態對數的偏度幾乎為零。而伽馬對數的偏度是負的。但是負多少？..）

矩生成函數的在這種情況下很有幫助，因為它有一個簡單的代數形式。根據 mgf 的定義，我們有

讓我們驗證您給出的期望和方差。取導數，我們有

和因此，緊隨其後 要找到偏度，請注意累積量生成函數（感謝@probabilityislogic 的提示）是

因此，第一個累積量很簡單. 回顧, 所以後面的累積量是,. 因此偏度為 作為旁注，AC Olshen 在他的 Pearson III 型分佈的轉換中似乎已經徹底研究了這個特定的分佈，Johnson 等人的連續單變量分佈也有一小部分關於它。檢查那些。

引用自：https://stats.stackexchange.com/questions/312803