Doane 的直方圖分箱公式
我正在實施各種算法來估計用於直方圖的最佳箱數。我正在實施的大多數都在維基百科“直方圖”頁面的“箱數和寬度”部分中進行了描述*。
我被 Doane 的公式所困擾：
1 + log(n) + log(1 + kurtosis(data) * sqrt(n / 6.))
n數據大小在哪裡。問題是當峰度為負時，
n >> 1因為 的參數log變為負。*（該頁面自發布以來已更改，鏈接已編輯為指向發佈時的頁面）
當我調查維基百科頁面時，這個答案發生了重大變化。我基本上保留了答案，但添加了它們，所以目前這形成了理解的進展；最後一部分是最好的信息所在。
簡短的回答：維基百科頁面（在發布問題時） - 以及似乎相同的 OP 公式 - 完全是錯誤的，至少有三個不同的原因。我將留下我最初的討論（假設 OP 和 Wikipedia 是正確的），因為這解釋了一些問題。稍後進行更好的討論。簡短的建議：忘記 Doane。如果您必須使用它，請使用 Wikipedia**現在所說的（我已修復）。
我認為公式必須指的是過度峰度；我這樣做的原因是它修改了正常數據的公式以解釋非正常數據，因此您希望它能夠以正常方式重現未修改的公式。如果您使用過多的峰度，它會這樣做。
然而，這確實會引發一個問題，即日誌中的術語在大樣本時可能會變為負數（實際上，有可能是 $ \leq 0 $ 在很小的時候 $ n $ ）。我建議不要在負超峰度的情況下使用它（無論如何，我永遠不會在單峰之外使用它；一旦事情變得多峰，你想將超峰度想法應用於每種模式，而不是平滑它們！），儘管有輕微的情況（過度峰度剛好小於 0）和適度的樣本量，這不會是一個大問題。
我還建議，在任何情況下，即使它按預期工作，它也會在大樣本量下提供太少的垃圾箱。
您可以找到這篇論文（由普通 CVer Rob Hyndman撰寫）：
http://www.robjhyndman.com/papers/sturges.pdf
有些興趣。如果 Sturges 的論點是錯誤的，Doane 的公式也有同樣的問題……正如 Rob 在論文中明確指出的那樣。
在那篇論文中（以及在這個答案中），他對 Freedman-Diaconis 規則表示贊同。在論文中，他還指出了 Matt Wand 提到的方法（他指的是工作論文，該論文似乎並不在線，但如果您可以訪問，則可以使用後續論文）：
http://www.jstor.org/discover/10.2307/2684697
[編輯：實際上工作文件的鏈接在citeseer 頁面上]
該方法涉及近似估計特定功能以獲得近似最優的（根據均方積分平方誤差，MISE）用於估計基礎密度的箱寬度。雖然這些工作得很好並且提供了比 Sturges 或 Doane 更多的垃圾箱，但有時我仍然更喜歡使用更多的垃圾箱，儘管這通常是一個非常好的第一次嘗試。
坦率地說，我不知道為什麼 Wand 的方法（或者至少是 Freedman-Diaconis 規則）在幾乎所有地方都不是默認的。
R 至少提供了對 bin 數量的 Freedman-Diaconis 計算：
nclass.FD(rnorm(100)) [1] 11 nclass.FD(runif(100)) [1] 6 nclass.FD(rt(100,1)) [1] 71看
?nclass.FD就我個人而言，至少在前兩種情況下，垃圾箱太少了；儘管它可能比最佳值更嘈雜，但我會將兩者都加倍。作為 $ n $ 變大，我認為它在大多數情況下都做得很好。
編輯2：
我決定調查@PeterFlom 正確表達困惑的偏度與峰度問題。
我剛剛看了與 wiso 相關的 Doane 論文（我以前讀過它……但那是差不多 30 年前的事了）——它根本沒有提到峰度，只提到了偏度。
多恩的實際公式是： $ K_e = \log_2(1+\frac{g_1}{\sigma_{g_1}}) $
在哪裡 $ K_e $ 是添加的 bin 數量， $ g_1 $ 是第三時刻偏度。[實際上，Doane 按照當時相當普遍的用法，使用 $ \sqrt{b_1} $ 對於已簽名的(!) 3rd moment skewness（這種特別不具啟發性的符號濫用的起源已經很老了，我不打算追究它，除非說幸運的是它現在出現的頻率要低得多）。]
現在在正常情況下， $ \sigma_{g_1} = \sqrt{\frac{6(n-2)}{(n+1)(n+3)}} \approx \sqrt{\frac{6}{n}} $
（雖然這個近似值很差，直到 $ n $ 遠遠超過100；Doane 使用第一種形式）。
但是，似乎在此過程中有人試圖使其適應峰度（例如，在我撰寫此維基百科時，它以峰度表示，我認為他們沒有編造出來）-但有明確的理由相信這個公式是完全錯誤的（請注意，使用的標準誤差是我上面給出的偏度 se 的最終近似值）。我想我已經在維基百科以外的幾個地方看到過這種峰度的使用，但除了沒有出現在 Doane 的論文中之外，它也沒有出現在 Scott 的論文中，也沒有出現在我指向的 Hyndman 論文中，也沒有出現在 Wand 的論文中。然而，它似乎確實來自某個地方（即我確信它不是維基百科的原創），因為 Doane 沒有近似於 $ \sigma_{g_1} $ . 看起來它在它結束之前已經玩了好幾次了；如果有人追踪它，我會很感興趣。
在我看來，Doane 的論點應該很高興地擴展到峰態，但必須使用正確的標準錯誤。
然而，由於多恩依賴斯特奇斯，而斯特奇斯的說法似乎有缺陷，或許整個企業注定要失敗。無論如何，我已經在維基百科上編輯了直方圖討論頁面，並指出了錯誤。
編輯 3：我已經更正了維基百科頁面（但我冒昧地取了偏度的絕對值，否則 Doane 的原始公式不能用於左偏分佈 - 顯然對於箱數的符號偏度無關緊要）。嚴格來說，我應該以原始（錯誤）形式呈現公式，然後解釋為什麼它沒有意義，但我認為這是有問題的，原因有幾個——尤其是人們會傾向於只複製公式而忽略解釋。我相信它實際上涵蓋了 Doane 的初衷。無論如何，它比原來的廢話有了很大的改進。（請任何可以訪問原始論文的人，看看它以及如何 $ \sqrt{b_1} $ 已定義並檢查我在 Wikipedia 上的更改以確保它是合理的 - 至少有三件事是錯誤的 - 峰度、標準錯誤和錯誤的日誌基數，加上 Doane 自己的小錯誤。）