MANOVA 的原假設是什麼？
背景
為了分析不同組之間某些連續變量的差異（由分類變量給出），可以執行單向方差分析。如果有多個解釋（分類）變量，則可以執行階乘 ANOVA。如果要分析多個連續變量（即多個響應變量）的組間差異，則必須執行多元方差分析 (MANOVA)。
問題
我幾乎不明白如何對幾個響應變量執行類似 ANOVA 的測試，更重要的是，我不明白零假設可能是什麼。是零假設：
- “對於每個響應變量，所有組的均值相等”，
或者是
- “對於至少一個響應變量，所有組的均值相等”，
或者是別的東西？
零假設單向方差分析的一個特點是所有組的均值相等：
零假設單向 MANOVA 的一個特點是所有組的 [multivariate] 均值相等：這相當於說每個響應變量的均值相等，即您的第一個選項是正確的。 在這兩種情況下，備擇假設是對空值的否定。在這兩種情況下，假設是 (a) 組內高斯分佈，和 (b) 跨組的相等方差（對於 ANOVA）/協方差矩陣（對於 MANOVA）。
MANOVA和ANOVA之間的區別
這可能看起來有點令人困惑：MANOVA 的原假設與單變量 ANOVA 集合的原假設組合完全相同，但同時我們知道進行 MANOVA 並不等同於進行單變量 ANOVA，然後以某種方式“組合”結果（可以想出各種組合方式）。為什麼不？
答案是運行所有單變量 ANOVA，即使會檢驗相同的零假設，其功效也會降低。請在此處查看我的答案以獲取說明：當單變量 ANOVA 均未達到顯著性時，MANOVA 如何報告顯著差異？“組合”的幼稚方法（如果至少有一個 ANOVA 拒絕零，則拒絕全局零）也會導致 I 類錯誤率的巨大膨脹；但即使一個人選擇了一些聰明的“組合”方式來保持正確的錯誤率，一個人也會失去力量。
測試如何工作
ANOVA 分解總平方和成組間平方和和組內平方和， 以便. 然後計算比率. 在原假設下，這個比率應該很小（大約); 可以計算出在原假設下預期的該比率的確切分佈（這將取決於和組數）。比較觀察值這種分佈會產生一個 p 值。
MANOVA 分解總散射矩陣成組間散佈矩陣和組內散佈矩陣， 以便. 然後計算矩陣. 在原假設下，這個矩陣應該是“小”的（大約); 但是如何量化它有多“小”呢？MANOVA 查看特徵值這個矩陣的（它們都是正數）。同樣，在原假設下，這些特徵值應該是“小”的（到處都是）。但是要計算 p 值，我們需要一個數字（稱為“統計量”）以便能夠將它與它在 null 下的預期分佈進行比較。有幾種方法可以做到：取所有特徵值的總和; 取最大特徵值等。在每種情況下，都會將此數字與預期在 null 下的該數量的分佈進行比較，從而得出 p 值。
檢驗統計量的不同選擇會導致 p 值略有不同，但重要的是要認識到在每種情況下都在檢驗相同的零假設。