為什麼這種分佈是均勻的？

我們正在研究貝葉斯統計檢驗，並遇到了一個奇怪的（至少對我而言）現象。

考慮以下情況：我們有興趣測量 A 或 B 哪個人群具有更高的轉化率。為了進行健全性檢查，我們設置，即兩組的轉化概率相等。我們使用二項式模型生成人工數據，例如

然後我們嘗試估計使用貝葉斯 beta-二項式模型，因此我們得到每個轉化率的後驗，例如

我們的檢驗統計量是通過計算計算得出的通過蒙特卡洛。

令我驚訝的是，如果， 然後. 我的想法是它將以 0.5 為中心，甚至收斂到 0.5 作為樣本量，, 成長。

我的問題是，為什麼 什麼時候?

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下面是一些 Python 代碼來演示：

%pylab
from scipy.stats import beta
import numpy as np
import pylab as P

a = b = 0.5
N = 10000
samples = [] #collects the values of S
for i in range(5000):
   assert a==b
   A = np.random.binomial(N, a); B = np.random.binomial(N, b)
   S = (beta.rvs(A+1, N-A+1, size=15000) > beta.rvs(B+1, N-B+1, size=15000)).mean() 
   samples.append(S)

P.hist(samples)
P.show()

TL;DR： 當 bin 大小很大時，正態分佈的混合可能看起來很均勻。

這個答案借鑒了@whuber 的示例代碼（我首先認為這是一個錯誤，但回想起來可能是一個提示）。

人口中的基本比例是相等的：a = b = 0.5。

每個組 A 和 B 有 10000 個成員：N = 10000.

我們將對模擬進行 5000 次重複：for i in range(5000):.

實際上，我們正​​在做的是一個. 在 5000 次迭代中的每一次我們會做的.

在每次迭代中我們將模擬一個隨機數的“成功”（AKA 轉換）的 A 和 B，給定前面定義的相等的基本比例：A = np.random.binomial(N, a); B = np.random.binomial(N, b). 名義上這將產生 A = 5000 和 B = 5000，但是 A 和 B 在不同的模擬運行中有所不同，並且獨立地（大約）正常地分佈在 5000 次模擬運行中（我們將回到那個）。

現在讓我們一步一步來 對於單次迭代其中 A 和 B 取得了相同數量的成功（這將是平均情況）。在每次迭代中給定 A 和 B，我們將為每個組創建 beta 分佈的隨機變量。然後我們將比較它們並找出是否，產生 TRUE 或 FALSE（1 或 0）。在運行結束時，我們已經完成了 15000 次迭代，並有 15000 個 TRUE/FALSE 值。這些的平均值將從（近似正態的）抽樣分佈中產生單個值.

除了現在將選擇 5000 A 和 B 值。A 和 B 很少會完全相等，但 A 和 B 成功次數的典型差異與 A 和 B 的總樣本量相比相形見絀。典型的 As 和 B 將從它們的抽樣比例分佈中產生更多的拉動，但那些在 A/B 分佈邊緣的也會被拉取。

所以，本質上我們拉過許多模擬運行的是抽樣分佈的組合對於 A 和 B 的組合（與 A 和 B 的不常見值相比，由 A 和 B 的共同值構成的抽樣分佈的拉動更多）。這導致了正態分佈的混合。當您將它們組合到較小的 bin 大小時（這是您使用的直方圖函數的默認值，並且直接在原始代碼中指定），您最終會得到看起來像均勻分佈的東西。

考慮：

a = b = 0.5
N = 10
samples = [] #collects the values of S
for i in range(5000):
   assert a==b
   A = np.random.binomial(N, a); B = np.random.binomial(N, b)
   S = (beta.rvs(A+1, N-A+1, size=15000) > beta.rvs(B+1, N-B+1, size=15000)).mean() 
   samples.append(S)

P.hist(samples,1000)
P.show()

引用自：https://stats.stackexchange.com/questions/97381