離散變量和連續變量。定義是什麼？
我們類中連續變量的定義似乎不是一個定義，因為它的定義中不包含例外。
我是一名四年級的數學學生，我覺得這樣一個破爛的東西可以成為一個定義真是令人震驚。有人可以給我一個能夠區分連續變量和完全準確的離散變量的定義，或者給我一個需要被視為離散的所有連續變量的列表以及何時。到目前為止，我有錢有時和時間一樣是離散的？
我不確定的濃度（例如百萬分之幾），但重量、長度和溫度似乎是連續的。時間似乎完全混亂了。
他們聲稱連續隨機變量是一個需要無限時間來列出所有可能值的變量，而離散變量是可以計算的變量。
隨機變量 $ R $ 如果對於每個實數，則稱它是 連續的 $ t, $ 的概率 $ R $ 等於 $ t $ 為零 $ P(R = t) = 0. $ 隨機變量 $ R $ 如果存在一組可數的值，則稱其為 離散的 $ t_1, \ldots, t_n, \ldots $ 這樣 $ P(R = t_i) > 0 $ 對所有人 $ i $ 和 $ \sum\limits_i P(R = t_i) = 1. $ Radon-Nikodym 和 Lebesgue 分解定理表明每個隨機變量的**累積分佈函數（又名 CDF）可以表示為 $$ F = aF_{ac} + b F_{dc} + c F_{pm} $$在哪裡 $ a, b, c \geq 0 $ 和 $ a + b + c = 1, $ 在哪裡 $ F_{ac} $ 是絕對連續隨機變量的 CDF （即 $ F_{ac} $ 承認密度），和 $ F_{dc} $ 是退化連續隨機變量的 CDF 和 $ F_{pm} $ 是離散隨機變量的 CDF（所以 pm 代表點質量）。很難構造退化連續隨機變量的例子，因為它們的 CDF 必須是連續的、遞增的，而不是恆定的，並且幾乎在任何地方都具有零導數。一個典型的例子是康托爾的惡魔階梯函數（https://en.wikipedia.org/wiki/Cantor_function）。因此，您通常假設隨機變量是絕對連續的、離散的或這兩種類型的混合。
**編輯：**這個問題引起了很多關注，所以讓我擴展一下。這個定義是基於一維情況（單變量隨機變量）。條件是 $ P(R = t) = 0 $ 對所有人 $ t $ 表示CDF 的 $ R $ 是一個連續函數 $ \mathbf{R} \to [0,1]. $ 事實上，眾所周知的事實是 CDF 是非遞減函數，更何況它只能有跳躍不連續性。但是 CDF 的跳躍不連續性恰好位於分佈的“原子”（隨機變量的“原子” $ R $ 是一個值 $ t $ 這樣 $ P(R = t) > 0 $ ）。為了看到這一點，我們使用 CDF $ F $ 已經（根據定義）在右邊連續，所以 $ F $ 是連續的當且僅當在左邊是連續的。現在， $$ F(t) - F(t - \delta) = P(R \leq t) - P(R \leq t - \delta) = P(t - \delta < R \leq t), $$ 通過測量理論性質 $ P, $ 右手邊收斂到 $ P(R = t), $ 以便 $ F $ 在左邊連續當且僅當 $ P(R = t) = 0, $ 這是將無原子隨機變量稱為“連續隨機變量”的主要動機。