證明獨立隨機變量的聯合概率密度等於邊際密度的乘積

是不是真的，如果 $ X_1, X_2, \ldots ,X_n $ 是獨立的隨機變量，那麼 $$ \begin{align} & f_{X_1,X_2,\ldots,X_n}(x_1,x_2,\ldots,x_n) \ = {} & f_{X_1}(x_1)\times f_{X_2}(x_2) \times \cdots \times f_{X_n}(x_n) \end{align} $$ （即獨立隨機變量的聯合概率密度等於邊際密度的乘積）？

如果是這樣，這個定理背後的證明是什麼（或者該陳述應該被視為獨立性的定義，而不是一個定理）？這不是作業，我問是因為我很好奇證明是什麼。

謝謝，

根據定義，隨機變量是獨立的

適用於所有 Borel 套件的選擇. 因此，採， 我們有

如果每個有密度，那麼 RHS 的等於

根據Fubini 定理，這等於

因此，隨機向量有密度

引用自：https://stats.stackexchange.com/questions/302198