Mathematical-Statistics
證明矩生成函數唯一地確定概率分佈
Wackerly 等人的文本陳述了這個定理“讓和分別表示隨機變量 X 和 Y 的矩生成函數。如果兩個矩生成函數都存在並且對於 t 的所有值，則 X 和 Y 具有相同的概率分佈。”沒有證明說明它超出了文本的範圍。Scheaffer Young 也有相同的定理沒有證明。我沒有 Casella 的副本，但谷歌圖書搜索似乎沒有找到其中的定理。
Gut 的文本似乎有一個證明的大綱，但沒有提到“眾所周知的結果”，並且還需要知道另一個沒有提供證明的結果。
有誰知道誰最初證明了這一點，以及該證明是否可以在任何地方在線獲得？否則如何填寫這個證明的細節？
如果有人問我不，這不是作業問題，但我可以想像這可能是某人的作業。我根據 Wackerly 的文本學習了一個課程序列，一段時間以來我一直想知道這個證明。所以我想是時候問了。
可以在Feller (An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 2)中找到對此的一般證明。這是一個涉及拉普拉斯變換理論的反演問題。您是否注意到 mgf 與拉普拉斯變換有驚人的相似之處？對於拉普拉斯變換的使用，您可以查看Widder (Calcus Vol I)。
特例證明：
假設 X 和 Y 是隨機變量，它們都只取 {}。此外，假設 X 和 Y 對於所有 t 具有相同的 mgf：
為簡單起見，我們讓 我們將定義為了. 現在
上面只是一個帶有係數的多項式. 對於 s 的所有值，它可以為零的唯一方法是，如果.所以，我們有為了. 所以，為了.
換句話說，密度函數為和完全一樣。換句話說，和具有相同的分佈。