Mathematical-Statistics
Pitman-Koopman-Darmois 定理的本科級證明
Pitman-Koopman-Darmois 定理說，如果來自參數化概率分佈族的 iid 樣本接受一個足夠的統計量，其標量分量的數量不隨樣本量增長，那麼它是一個指數族。
- 有任何教科書或基本說明性論文提供證明嗎？
- 為什麼要以這三個人的名字命名？
引理被稱為 Pitman-Koopman-Darmois 的原因，不出所料，三位作者幾乎同時獨立地建立了相似版本的引理：
- Darmois, G. (1935) 關於窮舉估計的概率定律，Comptes Rendus de l’Académie des Sciences , 200, 1265-1266。
- Koopman, BO (1936) On Distributions Admitting a Suficient Statistics， 美國數學會彙刊，卷。39，第 3 號。[鏈接]
- Pitman, EJG (1936) Sufficient statistics and intrinsic accuracy,劍橋哲學學會會刊, 32, 567-579。
遵循一維結果
- Fisher, RA (1934) 數學似然的兩個新特性，英國皇家學會會刊，A 系列，144, 285-307。
我不知道這個結果的非技術證明。一個不涉及復雜論點的證明是Don Fraser 的（p.13-16），基於似然函數是一個充分的統計量，具有函數價值的論點。但我發現這個論點是有爭議的，因為統計數據是真實的向量，是樣本的函數 $ x $ ，而不是泛函（函數值轉換）。恕我直言，通過改變統計數據的性質，Don Fraser 改變了充分性的定義，從而改變了 Darmois-Koopman-Pitman 引理的含義。