Westfall 說，“峰度的比例由中央決定μ±σμ±σmupmsigma範圍通常很小”但反過來是真的嗎？

Peter Westfall 在他的文章中揭穿了峰度作為測量分佈峰度的概念，他寫道：“[T] 峰度的比例由中央決定 μ±σ 範圍通常很小。”

我讀到這意味著我們通過知道有多少密度在平均值的標準偏差內，我們對峰度了解甚少。

反過來是真的嗎？知道了峰度，我們能說什麼（除了切比雪夫不等式）關於在均值的一個標準差內包含多少密度嗎？

（我認為我很樂意使用經驗分佈，以避免出現未定義的均值和無限方差的問題。）

參考

Westfall, Peter H. “Kurtosis as peakedness, 1905–2014. RIP。” 美國統計學家 68.3（2014）：191-195。

答案於 2021 年 9 月 15 日編輯：

在他對 OP 的回答中，@whuber 聲稱如下：

對於具有峰度的分佈 κ , 平均值的一個 SD 內的總密度介於 1−1/κ 和 1 ， 在哪裡 κ 是分佈的（非超額）峰度。

這個說法是錯誤的。

下面的例子清楚地表明@whuber 的結果是假的。

從這裡考慮我的“反例#1”：https ://math.stackexchange.com/a/2523606/472987 ，與 θ=.001 . 在那個反例中，峰度是 25.5 ， 範圍 1−1/κ 到 1.0 來自 0.96 到 1.0 ，但均值標準差內的概率為 0.5 . 這些語句由 R 代碼驗證：

th = .001
Z = c(-sqrt(.155/th +1.44), -1.2, -.5, +.5, +1.2, +sqrt(.155/th +1.44))
p = c(th/2, (.5-th)/2, .25, .25, (.5-th)/2, th/2)

sum(p)       # The probabilities sum to one so it is a valid pmf
sum(Z*p)     # The mean is zero
sum(Z^2*p)   # The variance is one

plot(Z, p, type="h", lwd = 4, cex.lab=1.5, cex.axis=1.5,ylab="Probability")
abline(v=c(-1,1), lty=2, lwd=2)  # Shows values within +- 1 sd

k = sum(Z^4*p)
k       # Kurtosis is 25.5

range = c(1 - 1/k,1)
range     # (.96, 1.0) is the range suggested by @whuber's false theorem 
         # about probability within a sd of mu

sum(p[abs(Z)<1])  # 0.5 is the actual probability within +- 1sd

這是反例分佈圖。垂直虛線標記 μ±σ 限制，在這個範圍內可以清楚地看到只有 0.50 可能性。

您還可以使用可重現的數據集和匯總統計數據來說明反例。以下 R 代碼生成 1000000 來自反例分佈的樣本，樣本量足夠大，以至於“偏差校正”可以忽略不計。估計的峰度為 26.02 ， 範圍 (1−1/26.02,1) ，中心概率應該位於其中，是 (.96,1) ，但估計的中心概率是 0.4999 .

set.seed(12345)
N = 1000000
Data = sample(Z, N, p, replace = T)
xbar = mean(Data)
s = sd(Data)

library(moments)
ku = kurtosis(Data)
ku
c(1-1/ku, 1)  # @whuber's false claim of central probability range

sum( Data >= xbar -s & Data <= xbar +s )/N  # Actual central probability

看到@whuber 的結果確實失敗了，這很有趣。在我的反例 #1 分佈族中，峰度可能趨於無窮大，這意味著根據@whuber 的“結果”，中心概率接近 1.0 . 但相反，中心概率保持不變 0.5 !

人們不需要構建花哨的反例來說明@whuber 的主張的如此驚人的失敗。考慮常見的 Tν 分佈，具有自由度參數的學生 T 分佈 ν . 為了 ν>4 ，其均值為零，其方差為 σ2=ν/(ν−2) ，其（非超額）峰度為 κ=6/(ν−4)+3 . 範圍中 4<ν≤5 ，峰度範圍為 9 到 ∞ ，而內的概率 ±σ 可以用 R 表示法進行數值計算，如

pt(sigma, nu) - pt(-sigma,nu)

下面的 R 代碼和結果圖顯示了@whuber 聲稱的範圍（黑色虛線），以及實際的中心概率（紅色實線）。

nu = seq(4.0001, 4.9999, .0001)
sigma = sqrt(nu/(nu-2))
kurt = 6/(nu-4) + 3
Cent.Prob = pt(sigma, nu) - pt(-sigma, nu)

Upper.Bound = rep(1, length(nu))
Lower.Bound = 1 - 1/kurt
plot(nu, Cent.Prob, ylim = c(.6,1), type="l", col="red", 
  ylab="Central Probability", xlab = "degrees of freedom")
points(nu, Upper.Bound, type="l", lty=2)
points(nu, Lower.Bound, type="l", lty=2)

再次，@whuber 的主張有一個驚人的失敗，因為該主張暗示中心概率必須本質上是 1.0 （為了 ν≈4 ），而實際上它要少得多（大約 0.77 ).

因此，@whuber 的說法是錯誤的：中心概率不必位於@whuber 規定的範圍內。事實上，正如我的反例 #1 所示，中心概率根本不需要隨著峰度的增大而增加。

這裡有兩個結果進一步闡明了峰度與中心的關係。

定理 1. 考慮一個隨機變量 X （包括通過經驗分佈的數據）具有 wlog、均值 = 0、方差 = 1 和有限四階矩。現在，創建一個新的隨機變量 X′ 通過替換質量/密度 pX 在裡面 0±1 任意，但保持 E(X′)=0 和 Var(X′)=1 . 那麼所有此類替換的最大和最小峰度統計量之間的差異小於 0.25。

定理 2. 考慮一個隨機變量 X 如定理 1。現在，創建一個新的隨機變量 X′ 通過替換質量/密度 pX 之外_ 0±1 任意，但保持 E(X′)=0 和 Var(X′)=1 在這樣的替換中。那麼所有此類替換的最大和最小峰度統計量之間的差異是無限的（即無限的）。

因此，在中心附近移動質量的影響對峰度的影響最多非常小，而在尾部移動質量的影響具有無限大的影響。

當人們試圖證明一個定理以某種方式證明中心與峰度有關時，提前知道這樣一個定理可能存在哪些反例是非常有幫助的。

這裡給出了很好的反例（https://math.stackexchange.com/a/2523606/472987）。

“反例 #1”顯示了一系列分佈，其中峰度增加到無窮大，而內部的質量 μ±σ 保持恆定 0.5。

“反例#2”顯示了一個分佈族，其中質量在 μ±σ 增加到 1.0，但峰度降低到最小值。

因此，峰度衡量“質量集中在中心”的經常斷言顯然是錯誤的。

許多人認為較高的峰度意味著“尾部概率更高”。這也不正確：反例 #1 表明，當尾部延伸時，您可以具有更高的峰度和更少的尾部概率。

相反，峰度精確測量尾部槓桿。看

https://stats.stackexchange.com/a/532055/102879

和

https://stats.stackexchange.com/a/481022/102879 .

引用自：https://stats.stackexchange.com/questions/541151