隨機變量的條件是什麼意思？
隨機變量的條件是什麼意思？
例如：在 p(X|Y) 中，X 和 Y 是隨機變量，那麼對 Y 的調節是否意味著 Y 是固定的（或非隨機的）？
以事件為條件（例如隨機變量的特定規範）意味著該事件被視為已知已發生。這仍然允許我們指定事件的條件 $ { Y=y } $ 實際值在哪裡 $ y $ 是一個代數變量，落在某個範圍內。 $ ^\dagger $ 例如，我們可以指定條件密度：
$$ p_{X|Y}(x|y) = p(X=x | Y=y) = {y \choose x} \frac{1}{2^y} \quad \quad \quad \text{for all integers } 0 \leqslant x \leqslant y. $$
這是指隨機變量的概率密度 $ X $ 以已知事件為條件 $ { Y=y } $ , 我們可以自由設置任何 $ y \in \mathbb{N} $ . 變量的使用 $ y $ 在這個公式中僅僅意味著條件分佈有一種形式，允許我們用一個範圍的值代替這個變量，所以我們把它寫成條件值的函數以及隨機變量的參數值 $ X $ . 無論哪個特定值 $ y $ 我們選擇，由此產生的密度取決於該事件被視為已知 — 即不再是隨機的。
正如我在這裡的另一個答案中所說的那樣，還值得注意的是，許多概率理論認為所有概率都是以隱含信息為條件的。這個想法與數學家 Alfréd Rényi 的公理化方法最為著名（參見例如Kaminski 1984）。Rényi 認為，每個概率度量都必須被解釋為以某些潛在信息為條件，而對邊際概率的引用僅僅是對潛在條件是隱含而不是顯式的概率的引用。
$ ^\dagger $ 從技術上講，值得注意的是，如果我們以連續隨機變量（概率為零的事件）的值為條件，那麼條件概率就有了一個擴展的定義。本質上，這只是一個滿足邊際概率所需積分陳述的函數。在目前的答案中，我們將堅持使用離散隨機變量來保持簡單。