Nonparametric
為什麼 Wilcoxon 檢驗的漸近相對效率3/𝜋3/圓周率3/pi與學生對正態分佈數據的 t 檢驗相比？
眾所周知，Wilcoxon 符號秩檢驗的漸近相對效率 (ARE) 為與學生t檢驗相比，如果數據來自正態分佈的總體。對於基本的單樣本檢驗和兩個獨立樣本的變體（Wilcoxon-Mann-Whitney U）都是如此。對於正常數據，它也是 Kruskal-Wallis 檢驗與 ANOVA F檢驗相比的 ARE。
這是否了不起（對我來說，是“最出人意料的出現之一”") 和非常簡單的結果有深刻的、非凡的或簡單的證明嗎？
單樣本 ARE 簡圖-test，簽名測試和簽名秩測試
我希望@Glen_b 的答案的長版本包括對兩個樣本簽名秩檢驗的詳細分析以及對 ARE 的直觀解釋。所以我會跳過大部分推導。（一個示例案例，您可以在 Lehmann TSH 中找到缺失的細節）。
測試問題：讓是來自位置模型的隨機樣本，關於零對稱。我們要計算符號檢驗的 ARE，假設的符號秩檢驗相對於 t 檢驗。
為了評估測試的相對效率，僅考慮局部替代方案，因為一致測試相對於固定替代方案的功效趨於 1。產生非平凡漸近冪的局部替代方案通常具有以下形式對於固定，在某些文獻中稱為Pitman 漂移。
我們前面的任務是
- 在 null 下找到每個檢驗統計量的極限分佈
- 找到備選方案下每個檢驗統計量的極限分佈
- 計算每個測試的局部漸近冪
檢驗統計和漸近
- t 檢驗（鑑於存在)
- 所以拒絕 if 的測試具有漸近冪函數
- 簽名測試
並且具有局部漸近冪 3. 符號秩檢驗
並且具有局部漸近冪
所以，
如果是標準正態密度，, 如果在 [-1,1] 上是均勻的，,
關於替代方案下分配推導的備註
當然，有很多方法可以得出替代方案下的極限分佈。一種通用方法是使用 Le Cam 的第三個引理。它的簡化版本聲明
讓是似然比的對數。對於一些統計 ， 如果
在空值下，然後
對於二次平均可微密度，自動滿足局部漸近正態性和鄰接性，這反過來又暗示了 Le Cam 引理。使用這個引理，我們只需要計算在空值下。obeys LAN
在哪裡是評分函數，是信息矩陣。然後，例如，對於簽名測試