乙(11+_X2)乙(11+X2)E(frac{1}{1+x^2})在高斯下

這個問題是從以下問題開始的。 https://math.stackexchange.com/questions/360275/e1-1x2-under-a-normal-distribution

基本上是什麼在一般高斯下. 我嘗試重寫作為高斯的標量混合 (）。這也停止了，除非你們有竅門。

如果這個積分不是分析任何合理的界限？

讓成為正常人PDF 和是具有一個 df 的 Student t 分佈的 PDF 因為正態分佈的 PDF多變的是（對稱），期望等於

這是卷積的定義公式. 傅里葉分析最基本的結果是卷積的傅里葉變換是傅里葉變換的乘積。此外，特徵函數 (cf) 是 PDF 的（最多合適的倍數）傅里葉變換。正常人的cf分佈是

並且這個 Student t 分佈的 cf是

（兩者都可以通過初等方法獲得。）它們的乘積的傅里葉逆變換值在是，根據定義，

它的計算是基本的：在間隔上單獨執行和簡化到和, 並每次完成正方形。獲得類似於 Normal CDF 的積分，但具有復雜的參數。編寫解決方案的一種方法是

這裡，是互補誤差函數，其中

一個特殊情況是這個表達式簡化為

這是等高線圖（在對數軸上）。

引用自：https://stats.stackexchange.com/questions/109802