評估正態分佈的確定區間
我知道由於其中復雜的誤差函數，正態分佈的 CDF 的易於處理的公式有些缺失。
但是，我想知道是否有一個很好的公式. 或者這個問題的“最先進”近似值可能是什麼。
這完全取決於您在尋找什麼。下面是一些簡要的細節和參考。
許多關於近似的文獻都以函數為中心
為了. 這是因為您提供的函數可以分解為上述函數的簡單差異（可能通過常數調整）。該函數有許多名稱，包括“正態分佈的上尾”、“右正態積分”和“高斯分佈”-function”，僅舉幾例。您還將看到Mills 比率的近似值，即
在哪裡是高斯pdf。 在這裡，我列出了一些您可能感興趣的用於各種目的的參考資料。
計算
實際計算標準-函數或相關的互補誤差函數是
WJ Cody，誤差函數的有理切比雪夫近似，數學。比較。，1969 年，第 631–637 頁。
每個（自尊）實現都使用本文。（MATLAB、R 等）
“簡單”近似
Abramowitz 和 Stegun有一個基於輸入變換的多項式展開。有些人將其用作“高精度”近似值。我不喜歡它，因為它在零附近表現得很糟糕。例如，它們的近似不會產生，我認為這是一個很大的禁忌。有時會因此而發生不好的事情。
Borjesson 和 Sundberg 給出了一個簡單的近似值，它適用於大多數只需要幾位數精度的應用程序。絕對相對誤差永遠不會低於 1%，考慮到它的簡單性，這是相當不錯的。基本近似是
他們對常數的首選選擇是和. 該參考是
PO Borjesson 和 CE Sundberg。用於通信應用的誤差函數 Q(x) 的簡單近似。IEEE Trans。交流。, COM-27(3):639–643, 1979 年 3 月。
這是其絕對相對誤差的圖。
電氣工程文獻中充斥著各種這樣的近似值，並且似乎對它們表現出過分強烈的興趣。他們中的許多人雖然很窮，或者擴展到非常奇怪和令人費解的表達方式。
你也可以看看
W.布萊克。右正態積分的均勻近似。應用數學與計算，127(2-3):365-374，2002 年 4 月。
拉普拉斯連分數
拉普拉斯有一個漂亮的連分數，它為每個值產生連續的上限和下限. 就米爾斯比率而言，
我使用的符號對於連分數來說是相當標準的，即. 這個表達式對於小的收斂速度不是很快，但它在.
這個連分數實際上產生了許多“簡單”的界限在 1900 年代中後期被“重新發現”。很容易看出，對於“標準”形式的連分數（即，由正整數係數組成），以奇數（偶數）項截斷分數會給出一個上限（下限）。
因此，拉普拉斯立即告訴我們
這兩者都是在 1900 年代中期“重新發現”的界限。就-function，這相當於
可以在 S. Resnick, Adventures in Stochastic Processes , Birkhauser, 1992 的第 6 章（布朗運動）中找到使用按部分進行簡單積分的替代證明。這些界限的絕對相對誤差不比，如this相關答案所示。 請特別注意，上面的不等式立即意味著. 這個事實也可以使用 L’Hopital 的規則來確定。這也有助於解釋 Borjesson-Sundberg 近似函數形式的選擇。任意選擇保持漸近等價為. 參數用作接近零的“連續性校正”。
這是一個情節-function 和兩個拉普拉斯界。
CI。C. Lee 有一篇 1990 年代初期的論文，對. 看
CI。C.李。在拉普拉斯連分數上為正規積分。安。研究所。統計學家。數學。, 44(1):107–120, 1992 年 3 月。
Durrett 的*概率：理論和例子*提供了經典的上界和下界在第 3 版的第 6-7 頁。它們適用於更大的值（說，) 並且是漸近緊的。
希望這會讓你開始。如果您有更具體的興趣，我可能會為您指出某個地方。
