x’Ax 和 x’AAx 在單位球面上的預期比率？
認為 $ A $ 是對稱正定矩陣。以下量的第一時刻是否有一個很好的表達方式？
$$ \frac{x^TAx}{x^TA^2 x} $$
在哪裡 $ x $ 分佈為 $ \text{Normal}(0,I_n) $ . 這是在球體表面上計算的兩個二次型的比率。
什麼時候 $ A $ 有特徵值 $ \langle 1, \frac{1}{2}\rangle $ ，這個期望等於 $ \frac{4}{3} $ ，如下圖（筆記本）
編輯 8 月 18 日 為了擴展超平面的答案，我們可以採取 $ A $ 在不失一般性的情況下成為對角線並將解寫為
$$ E\left[\frac{x^TAx}{x^TA^2 x}\right]=\langle a, z\rangle $$
在哪裡 $$ \begin{align} a_i=&\frac{1}{A_{ii}}\ z_i=&E_{y\sim\mathcal{N}(0,A)} \frac{y_i^2}{|y|^2} \end{align} $$
對於對稱矩陣 $ A, B $ , 數量 $ \mathcal R_A(x) = \frac{x^T A x}{x^T x} $ 和 $ \mathcal R_{A, B}(x) = \frac{x^T Ax}{x^TBx} $ 被稱為 （廣義）瑞利商。此處已提出有關此問題的問題：瑞利商的分佈或此處瑞利商的預期值
公認的答案是指Mathai 和 Provost於 1992 年出版的《隨機變量中的二次形式》一書。
在第 144 頁，我們參考了 Gurland 於 1956 年發表的論文正態分佈隨機變量中的二次形式，其中討論了廣義瑞利商的分佈和期望。除其他外，作者表明：
$$ \mathbf E\left[\frac{x^T Ax}{x^TBx}\right] = \sum_{j=0}^{n-1} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^{j+1}}{2^{j+2} v^{j+k+1}}c_{j} g_{k} B\left(j+k+1, \frac{3 n}{2}-j-1\right) $$
這裡， $ B(x, y) $ 是Beta 函數和 $ v $ , $ c_j $ 和 $ g_k $ 是與特徵值/特徵多項式相關的係數 $ A $ 和 $ B $ .
還有許多其他參考文獻給出了不同的系列/積分展開/表示的時刻 $ \mathcal R_{A, B}(x) $
- 正態變量中二次型比率的精確矩(1986)
- 關於正態變量中二次形式比率的期望（1989）
- 關於正態隨機變量中二次型比的矩（2013）
這些都沒有表明存在一個一般簡單的“封閉形式” $ \mathbf E[\mathcal R_{A, B}(x)] $ .
給定特徵值分解，我們在任何情況下都可以做一些簡化步驟 $ B=U^T\Lambda U $ ：
$$ \mathbf E_{x\sim\mathcal N(0,𝕀)}\left[\frac{x^T Ax}{x^TBx}\right] = \mathbf E_{y\sim\mathcal N(0,𝕀)}\left[\frac{y^TU^T AUy}{y^T \Lambda y}\right] = \mathbf E_{z\sim\mathcal N(0,\Lambda)}\left[\frac{z^T\Lambda ^{1/2}U^T AU\Lambda ^{1/2}z}{z^T z}\right] $$
讓 $ C=\Lambda ^{1/2}U^T AU\Lambda ^{1/2} $ 並使用線性我們有：
$$ \mathbf E_{z\sim\mathcal N(0,\Lambda)}\left[\frac{z^TCz}{z^T z}\right] = \mathbf E_{z\sim\mathcal N(0,\Lambda)}\left[\left\langle C, ;\tfrac{zz^T}{z^T z}\right\rangle\right] = \left\langle C, ; \mathbf E_{z\sim\mathcal N(0,\Lambda)}\left[\tfrac{zz^T}{z^T z}\right]\right\rangle $$
在這裡，兩者 $ \mathbf E_{z\sim\mathcal N(0,\Lambda)}[zz^T] = \Lambda $ 和 $ \mathbf E_{z\sim\mathcal N(0,\Lambda)}[z^Tz] = \operatorname{tr}(\Lambda) $ 是微不足道的，但是數值模擬表明 $ \mathbf E_{z\sim\mathcal N(0,\Lambda)}\left[\tfrac{zz^T}{z^T z}\right] $ 是一個對角矩陣，其對角線具有一些非平凡的非線性關係 wrt $ \Lambda $ .