x’Ax 和 x’AAx 在單位球面上的預期比率？
認為 A 是對稱正定矩陣。以下量的第一時刻是否有一個很好的表達方式？
xTAxxTA2x
在哪裡 x 分佈為 Normal(0,In) . 這是在球體表面上計算的兩個二次型的比率。
什麼時候 A 有特徵值 ⟨1,12⟩ ，這個期望等於 43 ，如下圖（筆記本）
編輯 8 月 18 日 為了擴展超平面的答案，我們可以採取 A 在不失一般性的情況下成為對角線並將解寫為
E[xTAxxTA2x]=⟨a,z⟩
在哪裡 ai=1Aii zi=Ey∼N(0,A)y2i|y|2
對於對稱矩陣 A,B , 數量 RA(x)=xTAxxTx 和 RA,B(x)=xTAxxTBx 被稱為 （廣義）瑞利商。此處已提出有關此問題的問題：瑞利商的分佈或此處瑞利商的預期值
公認的答案是指Mathai 和 Provost於 1992 年出版的《隨機變量中的二次形式》一書。
在第 144 頁，我們參考了 Gurland 於 1956 年發表的論文正態分佈隨機變量中的二次形式，其中討論了廣義瑞利商的分佈和期望。除其他外，作者表明：
E[xTAxxTBx]=n−1∑j=0∞∑k=0(−1)j+12j+2vj+k+1cjgkB(j+k+1,3n2−j−1)
這裡， B(x,y) 是Beta 函數和 v , cj 和 gk 是與特徵值/特徵多項式相關的係數 A 和 B .
還有許多其他參考文獻給出了不同的系列/積分展開/表示的時刻 RA,B(x)
- 正態變量中二次型比率的精確矩(1986)
- 關於正態變量中二次形式比率的期望（1989）
- 關於正態隨機變量中二次型比的矩（2013）
這些都沒有表明存在一個一般簡單的“封閉形式” E[RA,B(x)] .
給定特徵值分解，我們在任何情況下都可以做一些簡化步驟 B=UTΛU ：
Ex∼N(0,𝕀)[xTAxxTBx]=Ey∼N(0,𝕀)[yTUTAUyyTΛy]=Ez∼N(0,Λ)[zTΛ1/2UTAUΛ1/2zzTz]
讓 C=Λ1/2UTAUΛ1/2 並使用線性我們有：
Ez∼N(0,Λ)[zTCzzTz]=Ez∼N(0,Λ)[⟨C,;zzTzTz⟩]=⟨C,;Ez∼N(0,Λ)[zzTzTz]⟩
在這裡，兩者 Ez∼N(0,Λ)[zzT]=Λ 和 Ez∼N(0,Λ)[zTz]=tr(Λ) 是微不足道的，但是數值模擬表明 Ez∼N(0,Λ)[zzTzTz] 是一個對角矩陣，其對角線具有一些非平凡的非線性關係 wrt Λ .