高斯分佈是 Beta 分佈的特例嗎？

如果你看一個beta 分佈它看起來非常類似於高斯分佈。但是是嗎？如何證明 Beta(4,4) 分佈是否為高斯分佈？

它們都是對稱的，或多或少是鍾形的，但對稱的 beta（無論是 4,4 還是任何其他特定值）實際上不是高斯的。即使不查看密度，您也可以知道這一點——beta 分佈在 (0,1) 上，而所有高斯分佈都在

讓我們更仔細地看一下比較。我們將對 beta(4,4) 進行標準化，使其具有均值 0 和標準差 1（標準化的 beta），並查看密度與標準高斯分佈的比較：

標準化的 beta(4,4) 被限制在 -3 和 3 之間（標準高斯可以取任何值）；它的峰值也低於高斯分佈，並且在均值兩側的標準差約為 1 左右具有更圓的“肩部”。它的峰度是 27/11 (2.45，高斯為 3）。

具有較大參數值的對稱 beta 分佈更接近高斯分佈。

在參數接近無窮大的極限中，標準化的對稱 beta 接近標準正態分佈（此處的示例證明）。

因此，對稱 beta 的特定情況不是高斯的，但適當標準化的 beta 的極限情況是高斯的。通過查看由高斯分位數函數轉換的 beta 的 cdf，我們可以更容易地看到這種方法。在這個尺度上，高斯分佈在線，而對稱 beta 系列將接近線隨著參數變得越來越大。

在下圖中，我們查看與線更清楚地看到 beta 的方法（,) 到高斯為增加。

引用自：https://stats.stackexchange.com/questions/317729