限制噸噸t-分佈為nnn走向無窮大
我在統計教科書簡介中發現 $ t $ -分佈接近標準正態 $ n $ 走向無窮大。教科書給出的密度為 $ t $ -分佈如下，$$ f(t)=\frac{\Gamma\left(\frac{n+1}{2}\right)}{\sqrt{n\pi}\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)}\left(1+\frac{t^2}{n}\right)^{-\frac{n+1}{2}} $$
我認為有可能表明該密度（均勻地）收斂於正常的密度 $ n $ 走向無窮大。給定$$ \lim_{n\to \infty}\left(1+\frac{t^2}{n}\right)^{-\frac{n+1}{2}}=e^{-\frac{t^2}{2}} $$, 如果我們能展示就太好了 $$ \frac{\Gamma\left(\frac{n+1}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)}\to \sqrt{\frac{n}{2}} $$作為 $ n\to \infty $ ，但我被困在這裡。有人可以指出如何進行或另一種方式來表明 $ t $ -分佈收斂於正態為 $ n\to \infty $ .
斯特林近似給出$$ \Gamma(z) = \sqrt{\frac{2\pi}{z}},{\left(\frac{z}{e}\right)}^z \left(1 + O\left(\tfrac{1}{z}\right)\right) $$ 所以
$$ \frac{\Gamma(\frac{n+1}{2})}{\Gamma(\frac{n}{2})} = \dfrac{\sqrt{\frac{2\pi}{\frac{n+1}{2}}},{\left(\frac{\frac{n+1}{2}}{e}\right)}^{\frac{n+1}{2}}}{\sqrt{\frac{2\pi}{\frac{n}{2}}},{\left(\frac{\frac{n}{2}}{e}\right)}^{\frac{n}{2}}}\left(1 + O\left(\tfrac{1}{n}\right)\right)\= {\sqrt{\frac{\frac{n+1}{2}}{e}}}\left(1+\frac1n\right)^{\frac{n}{2}}\left(1 + O\left(\tfrac{1}{n}\right)\right) \= \sqrt{\frac{n}{2}} \left(1 + O\left(\tfrac{1}{n}\right)\right)\ \to \sqrt{\frac{n}{2}} $$你的問題可能有輕微的錯字
事實上，當考慮限制為 $ n\to \infty $ ， 你不應該 $ n $ 在溶液中；相反，您可以說該比率趨於 $ 1 $ 事實證明，這種差異往往 $ 0 $ . 還有一點是 $ \sqrt{\frac{n}{2}-\frac14} $ 是一個更好的近似值，因為差異不僅傾向於 $ 0 $ ，但平方差也是如此。