兩個高斯隨機向量內積的矩生成函數
誰能建議我如何計算兩個高斯隨機向量的內積的矩生成函數，每個向量分佈為，相互獨立？是否有一些標準結果可用？任何指針都受到高度讚賞。
首先讓我們解決這個案例. 最後是對任意的（簡單）概括.
首先觀察內積是 iid 變量的總和，每個變量都是兩個獨立 Normal 的乘積變量，從而將問題簡化為找到後者的 mgf，因為總和的 mgf 是 mgfs 的乘積。
mgf 可以通過集成找到，但有一種更簡單的方法。什麼時候和是標準正常的，
是兩個獨立的縮放卡方變量的差。（比例因子是因為方差平等的.) 因為卡方變量的 mgf 是, 的 mf是和 mf 是. 相乘，我們發現所需的 mgf 等於.
（供以後參考，請注意，當和被重新縮放, 他們的產品按比例縮放, 從何而來應該按比例縮放， 也。）
**這應該看起來很熟悉：**直到一些常數因子和一個符號，它看起來像一個學生 t 分佈的概率密度自由程度。（事實上，如果我們一直使用特徵函數而不是 mgfs，我們將獲得，它甚至更接近於 Student t PDF。）不要介意沒有 Student t 這樣的東西dfs——重要的是 mgf 在這顯然是（由二項式定理）。
緊接著這些 iid Gaussian 的內積分佈-vectors 的 mgf 等於-這個mgf的倍乘積，
通過查找學生 t 分佈的特徵函數，我們推斷（使用少量代數或積分來找到歸一化常數）PDF 本身由下式給出
(是貝塞爾函數）。
例如，這是疊加在隨機樣本直方圖上的 PDF 的圖這樣的內積和:
很難從模擬中確認 mgf 的準確性，但請注意（來自二項式定理）
我們可以從中讀出時刻（除以階乘）。由於左右對稱，只有偶數時刻很重要。為了我們獲得以下值，與該模擬的原始矩進行比較：
k mgf simulation/k! 2 0.09375 0.09424920 4 0.00732422 0.00740436 6 0.00053406 0.00054128 8 0.00003755 0.00003674 10 2.58 e-6 2.17 e-6正如所料，模擬的高力矩將開始偏離 mgf 給出的力矩；但至少在第十時刻，有很好的一致性。
順便說一句，當分佈是雙指數的。
**要處理一般情況，首先要注意內積是一個與坐標無關的對象。因此，我們可以採用以下的主要方向（特徵向量）作為坐標。在這些坐標中，內積是*獨立正態變量的獨立*乘積之和，每個分量分佈的方差等於其關聯的特徵值。因此，讓非零特徵值是（和)，mgf 必須等於
為了確認我在這個推理中沒有錯誤，我制定了一個例子是矩陣
併計算出其特徵值為
可以通過數值評估特徵函數的傅立葉變換來計算 PDF（從此處給出的 mgf 公式得出）：此 PDF 的圖在下圖中顯示為紅線。同時，我生成獨立同分佈從正常分佈和另一個獨立同分佈以同樣的方式，計算出點積. 該圖顯示了這些點積的直方圖（省略了一些最極端的值——範圍來自到):
和以前一樣，協議非常好。 此外，這些時刻在第八場比賽中表現得很好，甚至在第十場比賽中也相當不錯：
k mgf simulation/k! 2 1.45313 1.45208 4 2.59009 2.59605 6 5.20824 5.29333 8 11.0994 11.3115 10 24.4166 22.9982
附錄
（2013 年 8 月 9 日添加。）
是方差-伽馬分佈的一個實例，最初被定義為“混合密度為伽馬分佈的正態方差-均值混合物”。它有一個標準位置（)，不對稱參數（它是對稱的），尺度參數, 和形狀參數（根據維基百科參數化）。
