具有零偏度和零超峰度的非正態分佈？
主要是理論問題。有沒有前四個矩等於正態分佈的非正態分佈的例子？它們在理論上存在嗎？
是的，偏度和超峰度均為零的示例相對容易構建。（實際上，下面的示例 (a) 到 (d) 也具有 Pearson 平均中值偏度 0）
（a）例如，在這個答案中，通過採用 50-50 的伽馬變量混合給出了一個例子，（我稱之為 $ X $ )，以及第二個的負數，其密度如下所示：
顯然，結果是對稱的而不是正常的。尺度參數在這裡並不重要，因此我們可以將其設為 1。仔細選擇 gamma 的形狀參數會產生所需的峰度：
- 這個雙伽馬的方差（ $ Y $ ) 根據它所基於的 gamma 變量很容易計算出來： $ \text{Var}(Y)=E(X^2)=\text{Var}(X)+E(X)^2=\alpha+\alpha^2 $ .
- 變量的第四個中心矩 $ Y $ 是相同的 $ E(X^4) $ ，其中對於伽馬（ $ \alpha $ ） 是 $ \alpha(\alpha+1)(\alpha+2)(\alpha+3) $
結果峰度為 $ \frac{\alpha(\alpha+1)(\alpha+2)(\alpha+3)}{\alpha^2(\alpha+1)^2}=\frac{(\alpha+2)(\alpha+3)}{\alpha(\alpha+1)} $ . 這是 $ 3 $ 什麼時候 $ (\alpha+2)(\alpha+3)=3\alpha(\alpha+1) $ , 這發生在 $ \alpha=(\sqrt{13}+1)/2\approx 2.303 $ .
(b) 我們還可以創建一個示例，作為兩種制服的比例混合。讓 $ U_1\sim U(-1,1) $ 然後讓 $ U_2\sim U(-a,a) $ ， 然後讓 $ M=\frac12 U_1+\frac12 U_2 $ . 顯然，考慮到 $ M $ 是對稱的並且具有有限範圍，我們必須有 $ E(M)=0 $ ; 偏度也將為 0，中心矩和原始矩相同。
$ \text{Var}(M)=E(M^2)=\frac12\text{Var}(U1)+\frac12\text{Var}(U_2)=\frac16[1+a^2] $ .
相似地， $ E(M^4)=\frac{1}{10} (1+a^4) $ 所以峰度是 $ \frac{\frac{1}{10} (1+a^4)}{[\frac16 (1+a^2)]^2}=3.6\frac{1+a^4}{(1+a^2)^2} $
如果我們選擇 $ a=\sqrt{5+\sqrt{24}}\approx 3.1463 $ ，則峰度為 3，密度如下所示：
(c) 這是一個有趣的例子。讓 $ X_i\stackrel{_\text{iid}}{\sim}\text{Pois}(\lambda) $ ， 為了 $ i=1,2 $ .
讓 $ Y $ 是 50-50 的混合物 $ \sqrt{X_1} $ 和 $ -\sqrt{X_2} $ ：
通過對稱 $ E(Y)=0 $ （我們還需要 $ E(|Y|) $ 是有限的但給定的 $ E(X_1) $ 是有限的，我們有）
$ Var(Y)=E(Y^2)=E(X_1)=\lambda $
通過對稱性（以及存在絕對三階矩的事實）skew=0
第四個時刻： $ E(Y^4) = E(X_1^2) = \lambda+\lambda^2 $
峰度 = $ \frac{\lambda+\lambda^2}{\lambda^2}= 1+1/\lambda $
所以當 $ \lambda=\frac12 $ ，峰度為 3。這就是上面說明的情況。
(d) 到目前為止，我的所有示例都是對稱的，因為對稱答案更容易創建——但非對稱解決方案也是可能的。這是一個離散的例子。
如您所見，這些示例中沒有一個看起來特別“正常”。使任意數量的離散、連續或混合變量具有相同屬性將是一件簡單的事情。雖然我的大多數示例都是以混合物的形式構建的，但混合物並沒有什麼特別之處，除了它們通常是一種方便的方法，可以按照您想要的方式製作具有屬性的分佈，有點像用樂高積木。
這個答案提供了一些關於峰度的額外細節，這些細節應該使構建其他示例所涉及的一些考慮因素更加清晰。
您可以以類似的方式匹配更多時刻，儘管這樣做需要更多的努力。但是，由於法線的 MGF 存在，您不能將法線的所有整數矩與某些非正態分佈匹配，因為這意味著它們的 MGF 匹配，這意味著第二個分佈也是正態分佈。
