Normal-Distribution
Roy模型中雙變量標準正態概率和隱含條件概率的性質
很抱歉標題很長，但我的問題非常具體，很難用一個標題來解釋。
我目前正在學習Roy模型（治療效果分析）。
我的幻燈片上有一個推導步驟，我不明白。
我們計算治療組治療的預期結果（假人 D 是治療還是不治療）。這寫為
自從這可以重寫為
之前我們還說過， 如果所以它如下：
所以如果
因此它認為，
據進一步了解，
因此如下：
所以現在我的問題來了，幻燈片上說，
我不明白為什麼？ 我知道，如果兩個隨機變量遵循標準的二元正態分佈：
所以
因此我會期待一個“加號”而不是一個減號？還有為什麼我們使用協方差而不是相關性? 所以我本來期望像
我知道這樣一個事實，如果我從上面截斷變成一個.
首先，在 Roy 模型中，被歸一化為出於識別原因（參見 Cameron 和 Trivedi：微觀計量經濟學：方法和應用）。以後我將保持這種正常化。為了回答你的問題，讓我們展示
第一的。這裡和分別是標準正態分佈的 pdf 和 cdf。注意
根據迭代期望定律。向量 是具有均值的雙變量正態和協方差矩陣
條件均值 （請注意，這裡出現協方差而不是相關性，因為）。因此，
的密度函數是
條件均值 是
注意負號是如何出現的。因此，, 結論如下。