隨機追踪技術

我在 M. Seeger 中遇到了以下隨機跟踪技術，“Cholesky 分解的低秩更新”，加州大學伯克利分校，Tech。眾議員，2007 年。

在哪裡.

作為一個沒有深厚數學背景的人，我想知道這種平等是如何實現的。此外，我們如何解釋，例如幾何？我應該在哪裡查看以了解獲取向量的內積及其範圍值的含義？為什麼均值等於特徵值之和？除了理論性質，它的實際意義是什麼？

我寫了一個 MATLAB 代碼片段來看看它是否有效

#% tr(A) == E[x'Ax], x ~ N(0,I)

N = 100000;
n = 3;
x = randn([n N]); % samples
A = magic(n); % any n by n matrix A

y = zeros(1, N);
for i = 1:N
   y(i) = x(:,i)' * A * x(:,i);
end
mean(y)
trace(A)

跡線為 15，其中近似值為 14.9696。

NB所述結果不依賴於任何正態性假設，甚至不依賴於坐標的獨立性。. 它不依賴於也是肯定的。事實上，假設只有坐標均值為零，方差為一且不相關（但不一定獨立）；那是，,， 和對所有人.

徒手接近

讓是一個任意的矩陣。根據定義. 然後，

這樣我們就完成了。 如果這不是很明顯，請注意右側，通過期望的線性，是

通過跡屬性證明

還有另一種寫這個的方法，它是暗示性的，但在概念上依賴於稍微更高級的工具。我們需要期望和跟踪算子都是線性的，並且對於任何兩個矩陣和適當的尺寸，. 那麼，由於， 我們有

所以，

二次型、內積和橢球

如果是正定的，則內積可以通過定義和在以原點為中心。

引用自：https://stats.stackexchange.com/questions/11974