兩個正態分佈的隨機變量之間的歐幾里得距離分佈是什麼？

假設給定兩個對象，它們的確切位置未知，但根據具有已知參數的正態分佈分佈（例如和. 我們可以假設它們都是二元正態分佈，因此位置由分佈描述坐標（即和是包含預期的向量坐標和分別）。我們還將假設對像是獨立的。

有誰知道這兩個對象之間的平方歐幾里得距離的分佈是否是已知的參數分佈？或者如何分析得出這個函數的 PDF / CDF？

這個問題的答案可以在Mathai 和 Provost（1992，Marcel Dekker, Inc.）的《隨機變量中的二次形式》一書中找到。

正如評論所闡明的，您需要找到在哪裡 服從均值的二元正態分佈和協方差矩陣. 這是二元隨機變量中的二次形式.

簡而言之，對於維情況和

是矩生成函數是

在哪裡是的特徵值和是一個線性函數. 參見上面引用的書中的定理 3.2a.2（第 42 頁）（我們在這裡假設是非單數）。另一個有用的表示是 3.1a.1（第 29 頁）

在哪裡是獨立同居. 本書的整個第 4 章都致力於密度和分佈函數的表示和計算，這絕非易事。我對這本書只是表面上熟悉，但我的印像是所有的一般表示都是根據無限級數展開的。

所以以某種方式，問題的答案是，是的，兩個二元法線向量之間的平方歐幾里得距離的分佈屬於由四個參數參數化的已知（並且經過充分研究）的分佈類別和. 然而，我很確定你不會在你的標準教科書中找到這個分佈。

此外，請注意，和不需要獨立。聯合正態就足夠了（如果它們是獨立的並且每個正態，這是自動的），那麼差異服從正態分佈。

引用自：https://stats.stackexchange.com/questions/9220