為什麼正態分佈的峰度是 3 而不是 0
正態分佈的峰度為 3 的說法是什麼意思。是否意味著在水平線上， 3 的值對應於峰值概率，即 3 是系統的眾數？
當我查看正態曲線時，似乎峰值出現在中心，也就是 0。那麼為什麼峰度不是 0 而是 3？
峰度肯定不是峰值所在的位置。正如你所說，這已經被稱為模式。
峰度是標準化的第四矩：如果, 是我們正在研究的變量的標準化版本，那麼總體峰度是該標準化變量的平均四次方；. 樣本峰度相應地與一組標準化樣本值的平均四次方相關（在某些情況下，它按在大樣本中變為 1 的因子進行縮放）。
正如您所注意到的，在正態隨機變量的情況下，這個第四個標準化矩是 3。正如 Alecos 在評論中指出的那樣，有些人將峰度定義為; 這有時被稱為超峰態（它也是第四個累積量）。當看到“峰度”這個詞時，你需要記住不同的人使用同一個詞來指代兩個不同（但密切相關）的量的可能性。
峰度通常被描述為峰度*（例如，峰的彎曲程度——這可能是選擇“峰度”這個詞的意圖）或重尾度（通常人們有興趣用它來測量），但在事實上，通常的第四個標準化時刻並不能完全衡量這些事情中的任何一個。
事實上，Kendall 和 Stuart 的第一卷給出了反例，表明較高的峰度不一定與較高的峰值（在標準化變量中）或較胖的尾巴相關（以類似的方式，第三矩並不能完全衡量很多人認為確實如此）。
然而，在許多情況下，兩者都有一些相關的趨勢，因為當峰度較高時，往往會出現更大的峰度和重尾度——我們應該簡單地提防，認為它必然是這種情況。
峰度和偏度密切相關（峰度必須至少比偏度的平方大 1；當分佈接近對稱時，峰度的解釋更容易一些。
Darlington (1970) 和 Moors (1986) 表明，峰度的四階矩測量實際上是關於“肩膀”的可變性 -，而 Balanda 和 MacGillivray (1988) 建議用與該意義相關的模糊術語來考慮它（並考慮一些其他方法來衡量它）。如果分佈緊密集中在，那麼峰度（必然）很小，而如果分佈遠離 （這將傾向於同時將其堆積在中心並將概率移動到尾部以使其遠離肩部），四階矩峰度將很大。
De Carlo (1997) 是閱讀峰態的合理起點（在 Wikipedia 等更基本的資源之後）。
編輯：我偶爾會看到一些關於更高峰值（接近 0 的值）是否會影響峰度的問題。答案是肯定的，絕對可以。出現這種情況是因為它是標準化變量的四階矩——要增加標準化變量的四階矩，您必須增加在持有的同時 常數。這意味著概率進一步向尾部移動必須伴隨著一些更進一步（內部); 反之亦然——如果在將方差保持在 1 的同時將更多的權重放在中心，你也會在尾部放一些。
[注意，正如評論中所討論的，這作為一般性陳述是不正確的；這裡需要一個稍微不同的聲明。]
這種保持不變的方差效應與Darlington 和 Moors 的論文中將峰度作為“肩部變化”的討論*直接相關。*這個結果不是一些手搖概念，而是一個簡單的數學等價——如果不歪曲峰度，就不能認為它是其他的。
現在可以增加里面的概率不抬峰。同樣，有可能增加外面的概率不一定會使遠處的尾巴更重（例如，通過一些典型的尾巴指數）。也就是說，在使尾部更輕的同時提高峰度是很有可能的（例如，在均值兩側超過 2sds 的尾部更輕，比如說）。
[我在參考文獻中包含 Kendall 和 Stuart 是因為他們對峰度的討論也與這一點相關。]
那麼我們能說什麼呢？峰度通常與更高的峰和更重的尾部相關聯，而不必發生枯萎。當然，通過使用尾部來提升峰度更容易（因為可能會超過 1 sd）然後調整中心以保持方差不變，但這並不意味著峰值沒有影響；確實如此，而且人們可以通過專注於它來操縱峰度。峰度很大程度上但不僅與尾巴沉重有關——再一次，看看肩部結果的變化；如果有什麼是峰態所關注的，在不可避免的數學意義上。
參考
Balanda, KP 和 MacGillivray, HL (1988)，
“峰度：批判性評論”。
美國統計學家 42 , 111-119。
Darlington, Richard B. (1970)，
“峰度真的是“峰值嗎？”。
美國統計學家 24 , 19-22。
Moors, JJA (1986)，
“峰度的含義：重新審視達靈頓”。
美國統計學家 40 , 283-284。
DeCarlo, LT (1997)，
“關於峰態的含義和使用”。
心理學。方法， 2，292-307。
Kendall, MG 和 A. Stuart，
高級統計理論，
卷。1，第三版。
（最近的版本有 Stuart 和 Ord）
