如何評估箱線圖的偏度？
如何通過查看根據這些數據構建的箱線圖來確定偏度：
340、300、520、340、320、290、260、330
一本書說，“如果下四分位數比上四分位數離中位數更遠，那麼分佈是負偏態的。” 其他幾位消息人士或多或少地表示相同。
我使用 R 構建了一個箱線圖。如下所示：
我認為它是負偏態的，因為下四分位數比上四分位數離中位數更遠。但問題是當我使用另一種方法來確定偏度時：
平均值 (337.5) > 中位數 (325)
這表明數據正偏斜。我錯過了什麼？
一種偏度度量是基於均值-中值-皮爾遜第二偏度係數。
偏度的另一種測量方法是基於相對四分位數差異 (Q3-Q2) 與 (Q2-Q1) 的比率，表示為比率
當 (Q3-Q2) 與 (Q2-Q1) 表示為差異（或等效地中間鉸鏈中位數）時，必須對其進行縮放以使其無量綱（通常需要偏度測量），例如 IQR，如這裡（通過把）。
最常見的度量當然是第三矩偏度。
沒有理由認為這三項措施必然是一致的。其中任何一個都可能與其他兩個不同。
我們認為的“偏度”是一個有點模糊和定義不明確的概念。有關更多討論，請參見此處。
如果我們用普通的 qqplot 看你的數據：
[那裡標記的線僅基於前 6 個點，因為我想討論後兩個與那裡的模式的偏差。]
我們看到最小的 6 個點幾乎完全在線上。
然後第 7 個點位於該線下方（比左端相應的第二個點更靠近中間），而第 8 個點位於該線上方。
第 7 點表明輕微的左偏，最後一個，更強烈的右偏。如果忽略任何一點，偏斜的印象完全由另一點決定。
如果我不得不說是其中一個，我會稱之為“右偏”，但我還要指出，這種印象完全是由於那個非常大的一點的影響。沒有它，真的沒有什麼可以說它是正確的偏斜。（另一方面，如果沒有第 7 點，它顯然不是左偏。）
當我們的印象完全由單點決定時，我們必須非常小心，並且可以通過刪除一個點來翻轉。這不是繼續下去的依據！
我首先假設使異常值“異常”的是模型（在一個模型上的異常值在另一種模型下可能非常典型）。
我認為在正態分佈（高於平均值 3.72 sds）的 0.01 上百分位（1/10000）處的觀察對於正態模型同樣是異常值，因為在指數分佈的 0.01 上百分位處的觀察對於指數模型來說同樣是異常值。（如果我們通過它自己的概率積分變換來變換一個分佈，每個分佈都會去相同的統一）
要查看將箱線圖規則應用於適度右偏分佈的問題，請模擬指數分佈的大樣本。
例如，如果我們從法線模擬大小為 100 的樣本，我們平均每個樣本的異常值少於 1 個。如果我們用指數來做，我們平均在 5 左右。但是沒有真正的基礎可以說更高比例的指數值是“異常的”，除非我們通過與（比如說）正常模型進行比較來做到這一點。在特定情況下，我們可能有特定的理由來製定某種特定形式的異常值規則，但是沒有一般規則，這讓我們有了像我在本小節中開始的一般原則 - 以自己的方式處理每個模型/分佈（如果一個值對於模型來說並不異常，為什麼在這種情況下稱它為異常值？）
轉到標題中的問題：
雖然它是一種非常粗糙的工具（這就是我查看 QQ 圖的原因），但箱線圖中有幾個偏斜跡象 - 如果至少有一個點被標記為異常值，則可能（至少）三個：
在這個樣本（n=100）中，外部點（綠色）標記了極值，中值表示左偏。然後柵欄（藍色）表明（與中值結合時）表明右偏度。然後鉸鏈（四分位數，棕色）與中位數結合表明左偏度。
正如我們所看到的，它們不必是一致的。您將關注的重點取決於您所處的情況（可能還有您的偏好）。
然而，關於箱線圖有多粗糙的警告。此處最後的示例（包括對如何生成數據的描述）給出了具有相同箱線圖的四種完全不同的分佈：
正如您所看到的，存在一個相當偏斜的分佈，所有上述偏斜指標都顯示出完美的對稱性。
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讓我們從“鑑於這是一個箱線圖，將一個點標記為異常值，您的老師期望得到什麼答案？”的角度來看這個。
我們首先要回答“他們是否希望您評估不包括該點的偏度，或者將其包含在樣本中？”。有些人會排除它，並評估剩餘部分的偏度，就像 jsk 在另一個答案中所做的那樣。雖然我對這種方法的某些方面存在爭議，但我不能說它是錯誤的——這取決於具體情況。有些人會包括它（尤其是因為從正態性派生的規則排除了 12.5% 的樣本似乎是一大步*）。
*想像一個人口分佈是對稱的，除了最右邊的尾巴（我在回答這個問題時構造了一個這樣的分佈——正常，但最右邊的尾巴是帕累托——但沒有在我的回答中出現）。如果我抽取大小為 8 的樣本，通常有 7 個觀察值來自看起來正常的部分，一個來自上尾。如果我們在這種情況下排除標記為箱線圖異常值的點，我們就排除了告訴我們它實際上是傾斜的點！當我們這樣做時，保留在那種情況下的截斷分佈是左偏的，我們的結論將與正確的相反。
